La legende de sessa

Sujet du devoir

En Inde , une légende vieille de 1500 ans , raconte comment un homme du nom de Sessa fut récompensé pour avoir inventé le jeu déchec .
Le roi des Indes fut tant émerveillé lorsque Sessa lui apprit le jeu que le roi lui proposa de choisir la récompense qu'il souhaitait .
L'homme demanda alors la quantité de grains de blé qu'il serait nécessaire pour remplir les 64 cases d'un échiquier en respectant la condition suivante , chaque case doit contenir deux fois plus de grans de blé que la précédente sachant que la première case ne contient qu'un seul grain .
Soit : 1 grain de blé sur la première case
2 grains sur la seconde
4 grains ( 2 fois 2) sur la troisième
8 grains ( 2 fois 2 fois 2 ) sur la quatrième
16 grains ( 2 fois 2 fois 2 fois 2 ) sur la cinquième ...
Le roi accepta la demande de Sessa en se disant que celle-ci était bien
modeste .
Mais lorsqu'un arithméticien résolu le problème , le roi se rendit compte que l'homme l'avait dupé et que la quantité de grains de blé était impossible à fournir .

Où j'en suis dans mon devoir

Voici les questions :
1) a. Sur quelle case devrait-il y avoir 23 grains ? 28 grain ? 231 grains ?
b) Quelle quantité de grains est-il neccesaire pour remplir tout l'échiquier ? Donner le récultat comme somme de puissances de 2 . On pourra utiliser des ... pour ne pas écrire tous les termes .

2)a. En fait , cette formule est vraie pour tout entier n : 1+2+ 2[/sup]2 + 2[sup]3 +.......+ (2[/sup]n-1) = 2[sup]n - 1 .
Appliquer la pour écrire la plus simplement possible le résultat de la question 1.b

b.En utilisant la calculatrice , en déduire une valeur approchée du nombre de grains pour tout l'échiquier .
Donner le résultat en écriture scientifique .

c. La calculatrice ne permet pas de calculer la valeur exacte de 2puissance64. Mais il est possible d'obtenir celle de 2puissance32.
A l'aide de ce resultat est d'une multiplication a poser, prouver que la quantite exacte de grains de blé est : 18 446 744 073 709 551 615