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Sujet du devoir
Bonjour ,Je me joins à vous pour vous demander votre aide , il s'agit d'un problème de géomètrie que je n'arrive pas à faire , cela fais une semaine que j'essaie de le faire , je suis trés gênée de vous demander votre aide , car , ce n'est pas mon habitude de demander de l'aide .
Voici l'exercice en question :
Trace un triangle ABC , son centre de gravité G , le point A' milieu de entre crochets BC et le point E tel que A' soit le milieu de entre crochets GE .
Quelle est la nature du quadrilatère CGBE ? Justifier .
Expliquer la méthode qui permet de construire un triangle ABC tel que la médiane issue de A mesure 6 cm , la médiane issue de B mesure 4,2 cm et la médiane issue de C mesure 5,1 cm .
Construire un tel triangle .
Merci d'avance à tous ceux qui auront pris du temps à y répondre .
Où j'en suis dans mon devoir
J'ai fais la figure de la premiére question .La deuxiéme question , j'ai trouvé que c'est un parallélogramme de centre A' .
La troisiéme question , j'ai tracé une médiane , celle qui fait 6 cm,
puis j'ai tracé son centre de gravité G :
il est au tiers de la médiane , aprés , je n'y arrive pas .
2 commentaires pour ce devoir
Merci infiniement , je vous remercierez jamais assez !!!
Merci encore .
Merci encore .
Ils ont besoin d'aide !
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Ce n'est qu'un petit problème de compréhension, j'ai eu le même l'année dernière.. c'est trop simple en fait !
Alors c'est parti !
Tout ce que tu as fais est bon ;) seulement.. Il se trouve que avec toutes ces médianes on s'en sort jamais...
Disons que ce triangle ABC ait été construit et qu'on ait déjà fait les constructions comme pour la première question.
De A --> la parallèle (JL) à la médiane issue de C.
De B --> la parallèle (JK) à la médiane issue de A.
De C --> la parallèle ((KL) à la médiane issue de B.
En suivant le périmètre du triangle JKL formé par ces parallèles, on rencontre donc successivement les points A, J, B, K, C et L.
Soit P l'intersection de (CG) et de (JK).
Le côté [JK] se compose de trois parties :
JP = AG parce que le quadrilatère JAGP est un parallélogramme;
PB = 2*GA' = AG parce que [GA'] est une droite des milieux dans le triangle CPB;
BK = 2*A'E = 2*GA' = AG parce que A'E est une droite des milieux dans le triangle CBK; E se trouve en effet sur [CK] étant donné que (CE) est parallèle à (GB).
Conclusion : JK égale trois fois AG, donc 3*(2AA'/3) ou 2AA'.
Par ailleurs B se trouve au deux tiers de [JK] à partir de J.
On démontre de même que KL est deux fois la médiane issue de B, avec C au deux tiers de [KL] à partir de K; et que LJ est deux fois la médiane issue de C, avec A au deux tiers de [LJ] à partir de L.
Ce qui donne la solution :
construire un triangle JKL tel que JK = 6*2 = 12; KL = 4,2*2 = 8,4; LJ = 5,1*2 = 10,2.
B est sur [JK], à 12*2/3 = 8 cm de J; C est sur [KL], à 8,4*2/3 = 5,6 cm de K; A est sur [LJ], à 10,2*2/3 = 6,8 cm de A.
Démonstration.
Soient P sur [JK] à 4 cm de J, E sur [KL] à 2,8 cm de K et R sur [LK] à 3,4 cm de L.
Selon la réciproque du théorème de Thalès, (PA), (BR) et (KL) sont parallèles; (EB), (CP) et (LJ) sont parallèles; (RC), (AE) et (JK) sont parallèles.
Soit G l'intersection de (CP) et de (BR).
Note : à ce moment, on ne sait pas encore si A, G et E sont alignés.
D'après le théorème de la droite des milieux :
dans le triangle PKC, BG = KC/2
dans le triangle AEL, GR = EL/2
or KC = EL = (2/3)KL
donc BG = BR.
Dans le triangle JBR, [PA] est une droite des milieux; PA = BR/2 = BG.
Le quadrilatère PAGB a deux côtés, [PA] et [GB] égaux et parallèles. C'est un parallélogramme. (AG) est parallèle à (JK) et se confond avec (AE).
Les diagonales du parallélogramme BGCE se coupent en leur milieu A'. AA', contenant GA' est donc une médiane du triangle ABC.
PAGB et BGEK étant des parallélogrammes, AG = PB; GE = BK = PB; GA' = GE/2 = PB/2
AA' = AG+GA' = PB + PB/2 = 3PB/2 = 3*(JK/3)/2 = JK/2 = 6.
On démontre de même que [BG] et [CG] sont contenus dans les deux autres médianes du triangle ABC et que ces médianes ont la longueur voulue.