divion resoudre

Sujet du devoir

La définition de cette coudée se trouve dans l’Encyclopédie Larousse du XIX ième siècle.

Cette coudée, royale ou sacrée (Masson : Pi/6), était une mesure artificielle à laquelle on donnait quelquefois le nom de septenaire, parce qu’elle se composait de 7 palmes (Masson : Pi/42).

Hormis le fait de rendre une plus grande précision à la roue dans l’indication de la mesure, pourquoi avoir donné une valeur de 7 palmes ? Pourquoi pas 5, 8, etc. ?

Masson 1999 :

0.525/7 = 0.075 soit 1 palme = 24/320 = 12/160 = 6/80 = 3/40

1 palme est donc un multiple de 24 hors on sait parfaitement que dans une journée il y a 24 heures ! La coudée royale pouvait donc parfaitement servir à mesurer le temps !

En effet :

0.075 * 2 = 0.15 et 0.15 * 320 = 48 soit 2 jours
0.075 * 3 = 0.225 et 0.225 * 320 =72 soit 3 jours
0.075 * 4 = 0.3 et 0.3 * 320 = 96 soit 4 jours
0.075 * 5 = 0.375 et 0.375 * 320 = 120 soit 5 jours
0.075 * 6 = 0.45 et 0.45 * 320 = 144 soit 6 jours
0.075 * 7 = 0.525 et 0.525 * 320 = 168 soit 7 jours

1 palme = 3/40
2 palmes = 6/40 = 3/20
3 palmes = 9/40
4 palmes = 12/40 = 3/10
5 palmes = 15/40 = 3/8
6 palmes = 18/40 = 9/20
7 palmes = 21/40

Avec comme facteur multiplicateur de 320 = 100 * 2 * 2 * 2 * 2 * 2 à donner comme valeur au déplacement de la roue, c’est à dire la distance à parcourir !

Déterminons cette distance pour une roue d’un rayon de 10 cm :

320 / 10.4 = 30.76923077 soit 30 au quotient et le reste est 8. Cette valeur n’est pas codable sur la roue de 6 divisions car 30/6 = 5 tours et le reste 8 n’est pas codable. La précision de la roue est insuffisante. Il faut donc lui rajouter des divisions plus petites qui sont les palmes ! La nouvelle roue possédera donc non pas 6 divisions mais (6 + 2) * 6 = 48 divisions.
La distance parcourue pour une division sera de 10.4/7 = 1.485714286 soit environ 1,5 cm.
320 / 1,5 = 213,3333333 soit 213 division et ½ division !
Faisons le calcul du nombre de tour de la roue et de division nécessaires pour effectuer 320 :
213 / 48 = 4,4375 tours d’où le quotient est 4 reste 21 sans la virgule ce qui se lira immédiatement sur la nouvelle roue par 4 tours et 21 divisions

Le facteur multiplicateur de déplacement sera pour obtenir la valeur de 320 : 4 tours et 21 divisions !

Comment faire intervenir la notion de temps dans la roue codée ?

Il suffit de lui multiplier la valeur de temps désirée en heure par le nombre de palme correspondante.
Nous souhaitons un temps de 24 h soit une journée, faisons rouler notre roue pour obtenir la valeur du coefficient multiplicateur * le temps désiré :

- pour 1 palme : 3/40

(320 * 3) / 40 = 960 / 40 = 24
960 - 320 = 640
640 / 1,5 = 426.66666
426.666666 / 48 = 8.88888888 d’où le quotient est 8 reste 42

Il faudra donc pour obtenir un temps de 24 (heures) effectuer (4 + 8) tours et (21 + 42) divisions soit 12 tours et 63 divisions ! (sous réserve de vérification de ma théorie.) Cette valeur peut encore s’écrire : 13 tours et 15 divisions. (car 63 - 48 = 1 tour et 15 divisions)

- pour 2 palmes : 6/40

(320 * 6) / 40 = 1920 / 40 = 48
1920 - 320 = 1600
1600 / 1,5 = 1066.66666666
1066.66666666 / 48 = 22.22222222 d’où le quotient est 22 reste 10 divisions

Il faudra donc pour obtenir un temps de 48 (heures) effectuer (4 + 22) tours et (21 + 10) divisions soit 26 tours et 31 divisions soit encore 26 tours et ½ tours et 7 divisions. (car ½ tour = 24 divisions)

- pour 3 palmes : 9/40

(320 * 9) / 40 = 2880 / 40 = 72
2880 - 320 = 2560
2560 / 1,5 = 1706,666666667
1706,666666667 / 48 = 35,55555555556 d’où le quotient est 35 reste 26

Il faudra donc pour obtenir un temps de 72 (heures) effectuer (4 + 35) tours et (21 + 26) divisions soit 39 tours et 47 divisions soit encore 39 tours et ½ tours et 23 divisions.

- pour 4 palmes : 12/40

(320 * 12) / 40 = 3840 / 40 = 96
3840 - 320 = 3520
3520 / 1,5 = 2333,333333333
2333,333333333 / 48 = 48,61111111111 d’où le quotient est 48 reste 29

Il faudra donc pour obtenir un temps de 96 (heures) effectuer (4 + 48) tours et (21 + 29) divisions soit 52 tours et 50 divisions soit encore 53 tours et 2 divisions.

- pour 5 palmes : 15/40

(320 * 15) / 40 = 4800 / 40 = 120
4800 - 320 = 4480
4480 / 1,5 = 2986,666666667
2986,666666667 / 48 = 62,22222222222 d’où le quotient est 62 reste 10

Il faudra donc pour obtenir un temps de 120 (heures) effectuer (4 + 62) tours et (21 + 10) divisions soit 66 tours et 31 divisions soit encore 66 tours et ½ tours et 7 divisions.

- pour 6 palmes : 18/40

(320 * 18) / 40 = 5760 / 40 = 144
5760 - 320 = 5440
5440 / 1,5 = 3626,666666667
3626,666666667 / 48 = 75,55555555556 d’où le quotient est 75 reste 26

Il faudra donc pour obtenir un temps de 144 (heures) effectuer (4 + 75) tours et (21 + 26) divisions soit 79 tours et 47 divisions soit encore 79 tours et ½ tours et 23 divisions.

- pour 7 palmes : 21/40

(320 * 21) / 40 = 6720 / 40 = 168
6720 - 320 = 6400
6400 / 1,5 = 4266,666666667
4266,666666667 / 48 = 88,88888888889 d’où le quotient est 88 reste 42

Il faudra donc pour obtenir un temps de 168 (heures) effectuer (4 + 88) tours et (21 + 42) divisions soit 92 tours et 63 divisions soit encore 93 tours et 15 divisions.

Observons les valeurs des nombres de tours : 13, 26, 39, 52, 66, 79, 92

13 + 13 = 26 + 13 = 39 + 13 = 52 + 13 = 65 + 13 = 78 + 13 = 91

et

91/13 = 7
78/13 = 6
65/13 = 5
52/13 = 4
39/13 = 3
26/13 = 2
13/13 = 1

C’est ce que l’on appelle une progression géométrique ! Nous obtenons là la véritable fonction du septenaire égyptien qui est tout à fait surprenante : réaliser des progressions géomètriques ! L’auteur de la notice sur la coudée avait vu juste ! C’est une machine à progression géomètrique et on la programme par un choix judicieux des nombres de tour !

Alors la pyramide de Chéops a bien toutes les chances d’être une gigantesque horloge et non un tombeau ! Que mesure-t-elle ? Dans qu’elles progressions géométriques ? Pour cela il va falloir reprendre une par une les relevés des côtes et faire tourner la roue avec les pas que l’on va rencontrer.

Le Grand Secret de la Clé Septenaire :


- Nous avons vu dans le chapitre précédent sur les Calculs avec d’autres roues qu’il y avait un problème de précision dû à la valeur du nombre de division de 6 pour la roue égyptienne servant au tracé des proportions solaires. Comment améliorer le système pour résoudre ce problème de 0.283185307 ? La solution qui nous vient immédiatement à l’esprit est en rajoutant des divisions à la roue ! Mais pas n’importe comment, c’est-à-dire, pas en donnant plus de division à une roue car sinon on retomberait sur l’erreur expliqué ci-dessus des 3,8, 12 ou 14 divisions ! Mais bien en redivisant notre “ division ” de 1/6 de roue en un nombre suffisamment précis et cohérent pour qu’il nous permette de codifier le 0.283 etc. ! Faisons quelques essais avec des valeurs de 3,6,9 etc. sur Excel sans toucher à la colonne du nombre de tour. Ainsi il suffira de modifier uniquement la valeur du nombre de division et de relever la courbe obtenue. Observons les résultats que nous donnent ces nouvelles valeurs de divisions :

Pour 3 nous aurons 6*3 = 18 ;

Où j'en suis dans mon devoir

Hors nous savons que la définition de la palme égyptienne vaut la coudée royale/7 (coudée royale = Pi/6) (cf. La Coudée Egyptienne)! Cette valeur possède même un nom : la septénaire ! En divisant (Pi/6)/7 on obtient pi/42. Cette valeur va nous permettre une parfaite superposition de la droite de déplacement avec la droite du nombre de tour. Et c’est bien ce que nous désirions : un nombre de division plus grand mais un “ asservissement ” en déplacement, autrement dit : un asservissement en position comme dise les automaticiens ! Les égyptiens avec la roue de 6 divisions elles-mêmes divisées en 7 sous-divisions effectuaient des mesures asservies en position dont la valeur obtenue était donnée en proportion solaire !

La coudée royale/14 qui nous ramènerait au mythe d’Osiris dont le corps aurait été disloqué en 14 morceaux n’est pas “ sur ” la courbe de nombre de tour mais en-dessous, d’une valeur de moitié moindre en-dessous de la courbe des nombre de tour par rapport à l’axe des abscisses. Cette valeur de 14 ne semble pas avoir d’intérêt ici.

Qui dit asservissement dit Laplace !

Pour les mathématiciens intéressés par le principe de l'asservissement en position d'une roue avec pi/6 comme division je donne le départ du problème à résoudre pour déterminer la transformée de Laplace correspondante :