polarisation des mileux matériels

Sujet du devoir

une cavité cylindrique d'axe Oz,de très grandes dimensions,est remlie d'un matériau diélectrique.on suppose que la polarisation P=Pez est uniforme.on note alpha 1 et alpha 2 les demi angles sous lesquelles on voit à partir d'un point M de l'axe les deux surfaces de base Sb1 et Sb2.
1)calcules les différents charges de polarisation.
2)en déduire le champ de polarisation Ep au point m en fonction de P et alpha1 et alpha2 et epsilon0(vous pourriez pour cela utiliser l'angle solide sous lequel on voit Sb1(et Sb2) du point M)
3)donner l'expression du champ Ep au centre du cylindre et en déduire les valeurs du champ pour une cavité plate(hauteur<>rayon)
4)on considére mantenat une cavité de forma cubique.calculer le champ de polarisation au centre du cube.

Où j'en suis dans mon devoir

On introduit le vecteur polarisation par la relation où est le moment dipolaire de l'élément de volume du diélectrique de volume délimité par la surface fermée S.
Soient A un point quelconque du diélectrique et M un point extérieur au diélectrique.
où
Cette formule est d’un emploi simple si le vecteur polarisation est uniforme, on retrouve alors le calcul de champs électrostatiques pour une densité volumique de charge unité.
Dans le cas général, on remarque que et on utilise la relation d’analyse vectorielle



Soit, où est le vecteur unitaire normal, en chaque point, à la surface fermée S, orientée vers l’extérieur.
On constate que le potentiel créé par la polarisation est identique à celui d’une distribution de charges de densité volumique et de densité surfacique .