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Sujet du devoir
Bonjour à tous et à toutes,
mon prof de maths, nous a donné un DM que je ne comprends pas et que je n'arrive pas à faire. Sachant que je n'ai aucune cours. Je suis dans une véritable impasse. Est-il possible d'obtenir votre aide?
Pour ceux qui sont intéressés, voici le sujet:
On dit que P est un polynôme a coefficient réel, si pour tout nombre complexe z, on a:
P(z)=a0+a1z+a2z²+ ... + anz^n (le 1er nombre est en indice) avec a(indice)i appartient IR pour tout entier i<(ou égale)n et a(indice)n différent de 0. On appelle n le degré du polynôme.
1) On considère un polynôme a coefficient réel, de degré impair
a)Etudier les limites de P(x) en plus ou moins infini en fonction du signe de a(indice)n
b)En déduire, en justifiant soigneusement, que tout polynôme de degré impair possède au moins une racine réelle
2) D'après le cours, (que je n'ai pas) expliquer pourquoi on peut affirmer, que si z est une racine d'un polynôme de 2nd degré a coefficients réels, alors son conjugué z(barre) est aussi une racine du polynôme.
3)Généralisons: Soit P, défini par P(z)=a0+a1z+a2z²+ ... + anz^n (le 1er nombre est en indice), un polynôme a coefficient réel
a)Si z est un nombre complexe, exprimer P(z)(tout est sous la barre), en fonction des a(indice)i et de z(barre)
b)Si z est un nombre complexe, exprimer P(z)(là il n'y a que z sous la barre), en fonction des a(indice)i et de z(barre)
c)Montrer alors que si P admet le nombre z, comme racine, alors z(barre) est aussi une racine de P
4)On sait qu'un polynôme P de degré 5, possède les 2 racines suivantes: (1/2)+i(racine3/2) et i
On sait également que P(0)=6 et que a(indice)5=2
Trouver toutes les racines de P, ainsi que la forme développée de P
Il faudra rédiger, afin de montrer l'enchaînement de la réflexion
Où j'en suis dans mon devoir
Alors je suis à la première question que je ne comprends pas car je ne sais d'où vient le p(x) ensuite en essayant, je trouve que pour la limite quand x tend vers +00 est égale à +00 et pour quand la limite tend vers -00, elle est égale à 0. Ai-je bon, sinon est-il possible de m'expliquer?
17 commentaires pour ce devoir
tu as une photo ?
Une photo de koi? du Dm où de mes résultats?
Pour la question 2, le cour dit que si le discriminant d'un trinome est inférieur a 0 alors l'équation admet deux solutions complexes conjuguées cest a dire z1=(-b-i(racine carrée de moins delta))/(2a) et z2=(-b+i(racine carrée de moins delta))/(2a)
Sinon je comprends pas trop ton énoncé alors si c'est possible est ce que tu peux montrer ce que tu as déjà fait pour qu'on puisse comprendre ton raisonnement
Je suis nul part car je ne comprends pas mon énoncé, je suis dans l'impasse, surtout que je n'ai pas de cours sur ça, pour vous avouer j'ai dû regarder la définition de plusieurs termes, mais je ne comprends pas le rapport entre z et z(barre) qui ont tout les deux des racines
bonsoir,
je ne sais d'où vient le p(x)
p(z) =a0+a1z+a2z²+ ... + anz^n
p(x) =a0+a1x+a2x²+ ... + anx^n
pour les limites, il faut regarder le terme de plus haut degré -> n
ou factoriser par x^n
puisque , l'expoxant est impair, c'est le signe de a qui est déterminant.
exemple quand x -> +OO 3 x^3 tend vers + OO
- 3 x^3 tend vers - OO
Est-il possible que vous me donniez un exemple de suite comme celle de mon énoncé et factorisé par x^n?
Si c'est non, le résultat donne: x^n(1+2+3+ ... +N) non?
bonjour,
limites de P(x) en plus ou moins infini
a0+a1x+a2x²+ ... + anx^n ( car a2x² = a2x²*x^n/ x^n = a2/ x^(n-2))
x^n( ao/x^n + a1/x^(n-1) +. a2/x^(n-2) ..+an )
tu te sers de la propriété => lim a/x^n = 0 (quand x tend vers +ou - OO), et tu vois que la limite est celle de an*x^n
mais tu peux utiliser un théorème (vu en première je crois)
la limite d'un polynôme, en + ou -OO , est égale à la limite de son terme de plus haut degré
donc ici c'est anx^n (n impair -> énoncé)
quand x-> + OO a est négatif donc lim = -OO x et p(x) varie sens contraire
quand x-> - OO a est négatif lim = + OO
pour a positif
quand x-> + OO a est positif donc lim = x et p(x) varie dans le même sens)
quand x-> - OO
info : puisque le degré n est impair quand x tend vers -OO, x^n va tendre lui aussi vers - OO,
mais si devant tu as le signe - (si a négatif) ça inverse le sens de variation, donc - x^n tend vers +OO
(prends des exemples numériques si tu as du mal à voir)
Merci beaucoup, j'aurais une question à vous poser, comment fait-on pour déduire soigneusement quelque chose?
pour 1 -b) puisque le polynôme tend vers -OO quand x tend tend vers +OO ( ou inversement)
en tant que fonction polynôme, elle est continue et sa courbe traverse l'axes des abscisses au moins une fois (puisqu'il va de -OO à +OO)
c'est à dire qu'à un moment donné P(x) = 0 donc P(x) admet au moins une racine
Ah c'était si simple que ça? euh comme je n'ai pas de cours, est-ce que dans vos souvenir ou dans votre cours, vous aurez quelque chose qui apparente à ma question 2?
pour la question 2), le mieux, ça serait que tu récupères le cours du prof
(tu peux peut-être le trouver sur le net )
voila ce que j'aurais fait
P(z) -> 2nd degré (énoncé)
P(z) = a2z² +a1z + ao ( 2; 1 ; 0 -> indice)
si alpha solution complexe de l'équation <=> P(alpha) = 0
mais 0 est un réel donc P(alpha) est un réel, donc il est égal à son conjugué
[P(alpha)](tout sous la barre) = P(alpha) = 0
d'après la propriété des conjugués , on peut écrire P(alpha)barre = 0 (seulement alpha sous la barre)
donc alpha barre est aussi une solution de P(z)=0
Merci beaucoup mais il va être difficile de récupérer le cours sachant que l'on n'a pas encore fait le chapitre ou en tout cas, rien dans le cours que j'ai actuellement me permet d'affirmer ceci, donc déjà merci pour votre aide. Comment exprime-t-on quelque chose en fonction d'une autre, est ce que c'est simplement le mettre en facteur ou s'est autre chose
Pour la 1. Mets xnen facteur tout simplement.
non , rien à voir avec mettre en facteur
exemple
pour l'aire d'un carré en fonction de x
x= côté => aire = x^² (c'est l'aire en fonction de x)
c'est simplement que tu te sers de x pour exprimer l'aire
si tu dois exprimer le volume du cube en fonction de x => x^3
pour exprimer P(z) ((tout est sous la barre)
tu reprends P(z)=a0+a1z+a2z²+ ... + anz^n
et tu mets tout sous la barre
ensuite pour
P(z)(là il n'y a que z sous la barre)
tu mets la barre seulement sur les z
pour 4)
Si P est de degré 5 , alors P a au plus 5 racines distinctes dans C (théorème)
pense que les conjugués des racines qu'on te donne dans l'énoncé sont aussi racines de P(z)
(1/2)+i(racine3/2) => (1/2)- i(racine3/2) est ausi une racine de P(z) =0
idem pour i => - i ....
Ils ont besoin d'aide !
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je suis pas assez fort
Le banissement est demandé.
La modération
fakeeeeee ! degage