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Sujet du devoir
Bonjour,Nous venons de voir en classe le raisonnement par récurrence et nous avons comme devoir de regarder un exercice corrigé. Cependant je n'ai pas réussi à comprendre certaines choses, j'espère que vous pourrez m'aider merci.
Voici l'énoncé :
Énoncé
On considère la suite (Un) définie par u0 =1 et, pour tout entier naturel n, Un+1= racine de Un +2.
Démontrer que tous les termes de la suite (Un) sont strictement positifs.
Où j'en suis dans mon devoir
Voici la correction :Solution
Démontrons par récurrence que la propriété Pn :
« Un > 0 » est vraie pour tout entier naturel n.
-Initialisation
On a u0=1,donc la propriété P0 est vraie.
*Jusqu'ici je pense avoir comprit car dans un raisonnement par récurrence on commence par montrer que la propriété est vrai pour le premier terme.
N'hésitez pas à me corriger si j'ai tort !
-Hérédité
Soit n un entier naturel quelconque fixé.
Supposons que la propriété Pn est vraie, c'est-à-dire que Un > 0 (hypothèse par récurrence)
Comme Un > 0 alors un+2 >2, donc racine de Un + 2 > racine de 2 (par stricte croissance de la fonction racine carrée sur [2 ; +oo[).
On a Un+1>0 donc la propriété Pn+1 est vraie.
*J'ai des difficultés de compréhension pour cette partie:
Je comprends pour Un>0 car on cherche à montrer que tous les terme de Un sont positifs.
Pourquoi ''racine de de Un+2 > racine de 2 (par stricte croissance de la fonction racine carrée sur [2 ; +oo[) ''? Je me demande pourquoi 2 et pas un autre nombre ?
Puis il y a '' On a Un+1>0 donc la propriété Pn+1 est vraie ''.
Juste avant on dit que ''racine de de Un+2 > racine de 2'' c'est-à-dire positif dans l'intervalle de 2 à +oo donc cela signifie que Un+1 >0 pourquoi ne met-on pas Un+1 >2 ?
-Conclusion
La propriété Pn est vraie au rang de 0 et est héréditaire, donc la propriété Pn est vraie pour tout entier naturel n.
Merci de m'aider ! :)
2 commentaires pour ce devoir
Je pense avoir mieux comprit :)
Merci beaucoup pour ton aide antoinelab37!
Merci beaucoup pour ton aide antoinelab37!
Ils ont besoin d'aide !
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le raisonnement par récurrence contient deux parties importantes comme il est très bien expliqué dans ton exercice corrigé.
D'abord, parlons de l'hérédité (la deuxième étape). Le point clé est que tu étudies une suite définie par RÉCURRENCE et donc le terme n+1 est construit à l'aide du terme n. Cette construction, c'est le terme général de la suite : Un+1 = racine (Un) +2.
Grâce à ce terme général, tu as donc l'outil pour construire un terme après l'autre.
Le but du raisonnement par récurrence est de dire :
J'ai une info sur le terme n et je sais comment on construit le terme n+1. Est-ce qu'avec cette info sur n et la manière dont on construit le n+1 avec le n, je peux en déduire quelque chose sur le terme n+1 ?
L'"info" c'est : Un>0, donc que tout mes termes sont positifs. Tu vas obtenir cette info en regardant le tout premier terme U0 et tu vas vérifier cette info. C'est l'initialisation.
Tu vas ensuite essayer de savoir : si cette info est vraie pour Un, est elle vraie pour Un+1 vu la manière dont je construit Un+1 à l'aide de Un. C'est l'hérédité : tu sais que si l'info est vraie pour un terme alors elle est forcément VRAIE pour le terme d'après.
Finalement, si l'hérédité est vraie, alors il suffit que tu trouves le PREMIER terme pour lequel cette info est vraie et tu sauras forcément que TOUS LES AUTRES TERMES APRÈS vérifieront cette info.
En alliant l'initialisation et l'hérédité, tu prouves donc une propriété ("info") sur Un pour tout n.