Exercice exponentielle

bonjour Noman :)


f(x) = ax + b + x*e^x

1) exploite les infos que te donne le graphique et l'énoncé:
- on sait que f(0) = 2
donc a*0 + b + 0*e^0 = 2 <=> b = ..?

remplace b par cette valeur dans l'expression de f(x) : il nous reste à trouver a.

- quel est le coefficient directeur de la tangente en 0?
(= pente de la droite)
on a vu ça l'an dernier - je m'en souviens ;) : compte les carreaux.

or tu sais que le nb dérivé en 0 est f '(0)
établis la dérivée f ' de la fonction f
tu devras résoudre une petite équation pour trouver a.

* oups erreur de conjugaison
...que te donneNT le graphique et l'énoncé.

a*0 + b + 0*e^0 = 2 <=> b

0+b+0*1 sa fait zero alors ?

où est passé le "égale 2"

0+b+0*1 =2
b=2 ?

exact
donc on peut déjà écrire : f(x) = ax + 2 + x*e^x

essaie la suite : dérive la fonction f

oui mais je dois trouver le point a qui est le coeff directeur non avant de derivé ? :)

a n'est pas un point, c'est une constante (=nombre) de la fonction à déterminer.

pour trouver ce nombre, tu dois utiliser les infos fournies par le dessin : on y lit que le coeff directeur de la tangente en 0 est -1
ce que l'on transcrit par f '(0) = -1

lorsque tu auras établi la dérivée, tu pourras résoudre une équation pour trouver a.

ax+2+x*e^x
f'(x)=a+0+e^x

ax+2+x*e^x
f'(x)=a+0+e^x

f(x) = ax+2+x*e^x

f'(x)= a+0+e^x <--- erreur sur e^x

regarde le corrigé que tu as : pour dériver x*e^x, on pose :
u = x ---- u ' = ...?
v = e^x ---- v ' = ...?

2e^x ?

la derivé de x c'est bien 1 ? donc il ne reste que e^x

u'v-uv'
=1*e^x -e^x-x
=e^x -2e^x
=2?

j'aurai une question :
e^x*e^x=e^x² ou 2e x?

tu l'as le corrigé, Noman ? il ne peut pas y avoir écrit 2e^x.

la dérivée de x c'est bien 1 --- oui
et la dérivée de e^x ? (regarde ton cours)

u = x ---- u ' = 1
v = e^x ---- v ' = e^x

donc dérivée de x*e^x
= u 'v + uv '
= 1*e^x + x * e^x
= e^x (... + ...) factorise e^x

on récapitule la dérivée de f:
f'(x)= a + e^x(...+...)

puis calcule f '(0)
puis résous l'équation f '(0) = -1
que trouves-tu pour a?

attention, pour un produit, c'est u'v + uv'

(c'est pour un quotient que l'on a le signe -)

e^x*e^x= (e^x)² --- (e^x) "le tout" au carré

et on sait que
(e^x)² = e^(2x) --- cf règles de calcul sur les exponentielles

http://gilles.costantini.pagesperso-orange.fr/TS/expoln/exponentielleMC.PDF

tu as commencé à faire de petites fiches "boites à outils" ?
très utile les semaines avant le bac :)

donc dérivée de x*e^x
= u 'v + uv '
= 1*e^x + x * e^x
= e^x (... + ...) factorise e^x

on récapitule la dérivée de f:
f'(x)= a + e^x(...+...)

puis calcule f '(0)
puis résous l'équation f '(0) = -1
que trouves-tu pour a?


heu .. il y a un souci.. dans notre cour on trouve que e^x*e^x=e^2x pas x²

onc dérivée de x*e^x
= u 'v + uv '
= 1*e^x + x * e^x
= e^x +x(.1.. + ..e^x.) factorise e^x

"dans notre cours on trouve que e^x*e^x=e^2x pas x² "
oui exact, je n'ai jamais dit le contraire !
relis attentivement ce que j'ai écrit à 17:47 .

a oui (e^x)² = e^(2x)

par contre pour factoriser ce que tu me demandes j'ai un peu de mal

j'ai des pb de connexion...

dérivée de x*e^x
= u 'v + uv '
= 1*e^x + x * e^x
= e^x * (1+x)

d'où
f '(x)= a + e^x * (1+x)
calcule f '(0)
puis résous l'équation f '(0) = -1
que trouves-tu pour a?

e^x * (1+x)
f'(0)=e^0*(1+0)
f'(0)=1*1 =1

erreur : f '(x) = a + e^x * (1+x)
donc
f '(0)
= a + e^0*(1+0)
= a + 1

donc f '(0) = -1 <=> a = ...?

f'(0)=-1 ?? je ne vois pas comment

18/11/2012 à 16:43

la pente est de -1
car lorsque l'on "avance" de 1 en abscisse, on "descend" de 1 en ordonnée --> donc pente -1

on a fait des exos de ce type l'an dernier, tu t'en souviens?

http://wims.unice.fr/wims/wims.cgi?session=EN5E69A472.10&lang=fr&cmd=new&module=H5%2Fanalysis%2Fexoder.fr&exo=Lecturegraphiq2&qnum=1&qcmlevel=3&scoredelay=

erreur : f '(x) = a + e^x * (1+x)
donc
f '(0)
= a + e^0*(1+0)
= a + 1

donc f '(0) = -1 <=> a = ...?
f'(0)=a+1
je ne vois pas comment icic tu trouves f'(0)=-1

Noman, lis ce que j'écris : regarde juste au dessus.

a oui ok je comprend mais -1 c'est egal a la lettre a qu'on nous demande de chercher non ?

pour savoir on prend deux poit par exemple je prend deux poitn au hasard sur la tangente et je fais
deltay sur delta x ? c'est bien sa
ici zero etait un choix au hasard ?

je n'ai pas fait comme ça, mais si tu préfères, tu peux en effet calculer comme ça
points de la tangente : (0;2) et (2;0)
donc coeff. directeur = (2-0)/(0-2) = -1
tu retrouves bien la mm chose
----

on en est là :
on sait que f '(0) = a + 1
et que f '(0) = -1

donc a +1 = -1 <=> a = -2
et ainsi f(x)= -2 x+ 2 + xe^x

2a) dérivée et dérivée seconde : que trouves-tu ?

2)a)f'(x)= -2 +0 + e^x

on a établi plus haut que f '(x) = a + e^x * (1+x)
donc pour a=-2, la dérivée devient :
f '(x) = -2 + e^x *(1+x)

pour f '', tu dois trouver e^x *(x+2)

je te laisse avancer dans l'exo, et on continue demain ?
pose tes questions j'y répondrai demain matin.
a+ :)

pour f '' tu dois trouver e^x *(x+2

f '(x) = -2 +
f''(x)=0+e^x +e^x*x
f''(x)=0+e^x +e^x *(1+x)
f''(x)=e^x (x +2)

------------------------------

Question que j'ai sur les limites
e(^-x²-1)

lim-x²-1= -oo
x----->+oo

lim e^-x²-1=0=lim f(x)
x--->+oo
pourquoi zero ? car une fonction exponentielle negative n'existe pas alors c'est egale z o ?

f '(x) = -2 + e^x *(1+x)
... comment as-tu fait?
il manque les étapes intermédiaires pour à arriver à:
f''(x)= 0 + e^x + e^x *(1+x) ---ok
f''(x)=e^x (x +2)

mais si tu l'as fait sur ta feuille, pas de souci.
---------

Question que j'ai sur les limites e(^-x²-1)
(c'est un autre exo, exact? je ne vois pas le lien avec le précédent)

lim(-x²-1)= -oo -------- exact
x-->+oo

lim e^(-x²-1)=0 ------ exact aussi
x-->+oo

attention : la fonction exponentielle est définie sur R
TOUS les réels ont une image (même les réels négatifs),
et cette image est en effet > 0

http://gilles.costantini.pagesperso-orange.fr/Lycee_fichiers/CoursT_fichiers/ExpLn03.pdf

recherche sa courbe sur le net ou dans tes cours pour t'en convaincre.

f''(x)=e^x (x +2)
ensuite pour le tableau on fait
x+2>0
x>-2
?

oui
e^x n'est jamais nul

on cherche donc la valeur qui annule x+2 : c'est -2
donc
-2 annule la dérivée seconde : dans le tableau de variation,
on consigne cette valeur est on note - et + de part et d'autre.

lorsque la dérivée seconde est - , alors la dérivée f ' est décroissante
et lorsque la dérivée seconde est + , alors la dérivée f ' est croissante.

on complète en calculant f '(-2), et les limites aux oo

pourquio il y a un - et apres le 0 un + ?

x+2 s'annule en -2
si x est < -2, alors x+2 <0
si x est > -2, alors x+2 >0

a d'accord merci

petitte parenthese
mon controle sur les expo est jeudi franchement jai bien compris le principe du chapitre dernier controle du premiere trimestre ^^
j'aimerai savoir si demain tu voudrais bien continuer de mexpliquer 2-3 trucs ? je finis je serai connecté a 10-45 -11h demain matins si tu est disponible demainmatin ^^ enfin si tu veut bien :)

tout à fait possible.
bonne nuit, à demain !

a demain :-)

je suis là :)

je suis la aussi

il y a un exercice que j'aimerai quon fasse tout les deux par etapes ( que tu me guides :) )

On donne ci-dessou la courbe C representative d ela fonctio f definie sur R par f(x)=x-(1/4)(x+1)e^-x ainsi que la droite d d'equation y=x

1.a) calculez , pour tout reel x, f'(x) et f''(x).
b) déduisez-en les variations de f'
c) demontrez que l'eequation f'(x)=0a une solution unique a telle que -1,21 2)a) déduisez de la question precedente les variatio,s de f
b) demiontrez que si x appartient a l'intervalle I =[-1;0] alors f(x) appartient egalement à I

graphique :
http://hpics.li/5d1a302

que trouves-tu pour la dérivée ?

f(x)= x - (1/4)(x+1)e^-x = x - (1/4)(x+1)/ e^x

mon conseil : pose
u(x) = (x+1) ------------ u ' = ...?
v(x) = e^x ------------ v ' = ...?

donc dérivée de (x+1)/ e^x = (u 'v - uv ') / v²

essaie.

u(x) = (x+1) ------------ u ' =1
v(x) = e^x ------------ v ' = e^x

c'est u *v pas u/v ^^'

u(x) = (x+1) ------------ u ' =1
v(x) = e^x ------------ v ' = e^x --- exact continue

"c'est u*v pas u/v" <--- et si pourtant, je m'explique :

puisque tu as ...*e^(-x)
tu sais que e^(-x) = 1/ e^x

donc multiplier par e^(-x), c'est diviser par e^(x)

tu as donc bien un quotient et la formule est celle que j'ai indiquée.

donc sa donne (x+1)*1/e^x

je trouve:
f '(x) = 1 + (1/4)(x/e^x)

si tu veux que je vois où est ton erreur, montre moi le détail

f(x)= x - (1/4)(x+1)e^-x
f'(x)=
u(x+1) u'= 1
v=e^-x v'(1/e^x)
ainsi
f'(x)=1-0 +1*(1/e^x)

http://hpics.li/3574438

en noir f
en rouge f '
en vert f ''
en bleu la 1ère bissectrice

pourtant je viens de voie nc our on a corriger d ema façon
v=e^-x v'= -e^-x ?

f(x)= x - (1/4)(x+1)e^-x
je vois que tu choisis de garder e^-x, soit !
on a donc un produit

u= (x+1) --- u'= 1
v= e^-x --- v'= (1/e^x) erreur, c'est -1*e^x/(e^x)² = -1/e^x

ainsi
(u 'v + uv ') = 1*e^-x + (x+1)*(-1/e^x) = -x/e^x
après simplification

f'(x)=1-0 +1*(1/e^x) <--- non

on récapitule:
f(x)= x - (1/4)(x+1)e^-x
f '(x)= 1 -(1/4) * ( -x/e^x) = 1 + (x/4e^x) <--- voici la dérivée

v=e^-x
v'= -e^-x je suis d'accord, c'est aussi égal à -1/e^x

mais la derivé de e^-x c'est -e^-x?

tu me dis si tout est bien clair
je reviens dans 5 mn

au lieu de
v'=-e^-x c'est pas plutot :xe^-x?

non, la dérivée de e^-x c'est -e^-x

reprends sur la papier
à un moment, tu dois factoriser e^-x
---> tu vas avoir 1-x-1 d'où le -x
montre moi ton brouillon si tu veux

si tu as cours cet après-midi, prends le temps de déjeuner tranquillement: je reviendrai te voir ce soir, et demain je suis là tout le jour.

f(x)= x - (1/4)(x+1)e^-x
f'(x)= 1-0
u*v=u'v+v'u
1*e^-x+-e^-x*(x+1)
e^-x +xe^-x-e^-x
=
donc f'(x)=1-0*-xe^-x

x-->1
(1/4)-->0

f(x)= x - (1/4)(x+1)e^-x
..... f'(x)= 1-0 --- moins zéro ?

u= (x+1) --- u'= 1
v= e^-x --- v'= -e^-x

u*v= u'v+v'u
= 1*e^-x + (-e^-x)*(x+1)
= e^-x - xe^-x - e^-x <--- erreur de signe
= - xe^-x

donc
f'(x)= 1 - (1/4)* (-xe^-x)
= 1 + (1/4)* (xe^-x) --- ok

non, ici le 1/4 ne devient pas 0,
car il est multiplié par une expression en x.

c'est donc un coefficient : on le garde tel quel.

exemples:
(2x) ' = 2 * (x)' = 2*1 = 2
(3x²) ' = 3 * (x²)' = 3 * 2x = 6x
tu comprends ?

pourquoi :

f'(x)= 1 - (1/4)* (-xe^-x)
= 1 + (1/4)* (xe^-x)

il y a un + apres le 1?

oui, - par - = +

-(1/4) * (-x...
= +(1/4)* x....

a ok

merci

de rien :)
à bientôt !

ce soir je serai connecté a 18h30-19h :) on pourras continuer enfin si tu es toujours dispo :)

je pense être de retour aux mêmes heures.
continue avec f '' si j'ai du retard.
a+

f'(x)=1 + (1/4)* (xe^-x)
u*v = uv'+u'v=(1/4)*(-e^-x)+(1/4)*e^-x
=1/4e^-x(-x+1)

voila
mais j'ai une question pourquoi u c'est 1/4x et non pas 1/4 suelement etant donné que toute cette parenthèse :'-xe^-x) est multiplié par 1/4 donc 1/4 est seul donc se serai u ou bien c'est peut etre du au faite quon enleve le sparenthèse donc le signe change et le x peut se mettre avec 1/4 ?

f'(x) = 1 + (1/4)* (xe^-x)

calcul de f ''
u*v = uv'+u'v=(1/4)*(-e^-x)+(1/4)*e^-x

f ''(x) =(1/4)(e^-x)(1-x) ok

par rapport à ta question :

pour ma part, j'ai l'habitude de ne pas mettre les coefficients dans les fonctions u et v (quand je peux, bien sûr)

par ex, dans ce cas, je fais :
f '(x) = 1 + (1/4)* (xe^-x)

f '((x) = (1/4) * (xe^-x)' --- je mets à part le coeff 1/4, qui m'encombrerai : évidement, faut pas l'oublier à la fin !

je dois donc dériver x * e^-x
je pose (enfin dans le cas général, parce qu'ici, c'est facile, on fait direct, mais bon, c'est pour la méthode):

u = x ---- u ' = 1
v = e^-x ---- v ' = -e^-x

u 'v + uv '
= 1 * e^-x + x * (-e^-x)
= e^(-x) * (1+x) --- je factorise

puis je reprends f ''
f '((x)
= (1/4) * e^(-x)*(1+x)
= (1 + x)* e^(-x)/4
ou encore
= (1+x)/(4e^x)

ça répond à ta question :s ?

je peut garder sous cette forme :

f''(x)=1/4e^-x(-x+1)

ben si tu veux, mais bon, ce n'est pas ma préférée :)

-x+1, je le trouve plus joli en 1-x ... après c'est affaire de gout :D

sérieusement, mets bien des () à 1/4, sinon c'est faux
(je parle pour l'écriture via clavier)

f''(x)=1/4e^-x(-x+1)
ensuite pour faire les variatiosn je prend (-x+1) car sa peut varié

-x+1=0-1
-x=-1
x=1

x -oo 1 +oo
f''(x) -
f'(x)

apres 1 je sais pas le signe c'est quoi j'essaye de remplacer par 2 dans f'' maus je n'y parviens pas

je ne comprends pas : -x+1=0-1

pour connaitre la variation de f '
on cherche la racine de f ''

f ''(x) = 0 <=> 1-x = 1 <=> x = 1

---> tu peux par ex calculer pour 0, c'est facile car e^0 = 1
f ''(0)= (1+0)/(4e^0) = 1/4 --- positif
donc
avant 1, f '' est +
après 1, f '' est -

d'où
f ' est croissante jusqu'en 1, puis décroissante.

avec cette forme sa donne quoi?

f''(x)=1/4e^-x(-x+1)

essaie ;=)

f''(0)=1/4e^-0(-0+1)=1/4*1+1 = positif
apres1,
f''(2)=1/4 e^-2(-2+1)
=1/4*0,13*-1=-0,325 donc negatif

f''(0)= 1/4 e^-0 (-0+1)=1/4*1*1 = 1/4 positif ok
apres1,
f''(2)= (1/4) (e^-2)(-2+1)= 1/4*0,13* -1= -0,0338 negatif ok

pour le b) avec alpha j'ai un peu de mal
f'(x)=1+(1/4)xe^-x =0 ?

bon je pars aller me coucher demain debout à 6:00:)

à demain :)

Bonjour
j'ai une question :
je dos resoudre cette equation :
e^x²=e^-x
je tente
x²=-x
x²+x?

bonsoir Noman

e^x²=e^-x
en passant par la fonction ln, on a en effet
x²=-x
x²+x = 0 <--- n'oublie pas le =0, sinon il n'y a plus déquation

factorise x
tu dois trouver 2 solutions

pourquoi factoriser x ?
je peut faire delta non?

c'est tellement plus facile de factoriser ici :

x²+x = 0 <=>
x(x+1) = 0 <=>
x = 0 OU x= -1

x+1=0
x=-1
pourquoi O il y a qu'une solution -1? comment fait tu pour trouver 0?

on me demande de resoudre l'inequation suivante :
e^2x+1
je trouve
2x²+x-3<0
sauf que en cour on trouve :
(2x²+1x-2) /x <0
il y a un probleme non?

2x+1 < 3/x <=>
2x + 1 - 3/x < 0 <=> tu dois tout mettre sur mm déno. x
2x²/x + x/x - 3/x < 0
(2x² + x - 3) /x < 0

tu dois
- chercher les racines de 2x² + x - 3
- faire un tableau de signes

ok donc les deux methodes la menne et celle du cours sont bonnes?

j'ai un autre souci :
f(x)=e^1-x(x²+2x)
alors
u=e^1-x
v=x²+2x
alors
f'(x)=-e^-x*(x²+2x)+2x+2*e^1-x
f'(x)=e^1-x(-(x²+2x)+2x+2 <-- la je ne comprend pas
=e^1-x(-x²+2)

" les deux methodes la mienne et celle du cours sont bonnes"
non, la tienne n'est pas bonne
fais le tableau de signes, et tu le verras.

f(x)= (e^(1-x)) * (x²+2x)
alors
u=e^(1-x) ---- u ' = -e^(1-x) et non pas -e^-x comme écrit après
v= x²+2x ---- v ' = 2x+2

f'(x)= -e^(1-x) * (x²+2x) + (2x+2) * e^(1-x)
f'(x)= e^(1-x) [-(x²+2x)+ (2x+2)]
f'(x)= e^(1-x) (-x²-2x+ 2x+2)
f'(x)= e^(1-x) (2-x²)

on a factorisé e^(1-x)
dans le 1er terme : -e^(1-x) * (x²+2x) ---> il reste - (x²+2x)
dans le 2nd terme : (2x+2) * e^(1-x) ---> il reste - (2x+2)

* erreur de copié-collé sur la dernière ligne
dans le 2nd terme : (2x+2) * e^(1-x) ---> il reste (2x+2)

tu as d'autres questions pour ce soir?
(je vais couper)

non ce sera tout merci infiniment pour ton aide
j'espere reussir le controle de demain d'autant que jai tout compris :D

vers l'infinie et au dela ...(blague de scientifique :) )