Exercice Maths logarithme et dérivée

bonjour

e un est nombre réel (constante)
e =~2.7128.... --- regarde sur ta calculette.
ne te laisse par troubler par ce nombre : c'est un peu comme le nombre pi =~3.14159...
on utilise une lettre pour représenter sa valeur exacte.

avant de commencer ton exo , étudie bien la fonction ln
voici un lien au cas où:
http://www.knayer.com/post/12695727138/term-es-cours-logarithme-limite-exponentielle-proprietes

fais une petite fiche-résumé, où tu notes l'essentiel :
- la courbe de la fonction pour visualiser son ensemble de définition et son sens de variation
- qq valeurs caractéristiques : ln(1) = 0 et ln(e) = 1
- les dérivées : (lnx) = 1/x et (lnu) ' = u '/u
- les règles de calculs sur les ln
- les qq limites données par le cours.
--

1)a) comme pour toute fonction dont tu dois étudier la variation, tu dérives g, et tu étudies le signe de cette dérivée g '.
que trouves-tu ?

la dérivée de lnx c'est donc 1/x mais la dérivée de -e/x je ne sais pas, c'est -e/1 donc -e ?

(lnx) ' = 1/x --ok

-e/x = -e * (1/x) --- e est une constante,
tu peux l'isoler pour mettre en évidence la fonction 1/x, que tu sais dériver

(-e/x) ' = -e * (-1/x²) = e/x²

d'où g '(x) = 1/x + e/x² = ... mets tout sur x²

je bloque là

g '(x) = 1/x + e/x² = x/x² + e/x² = (e+x)/x²

résous l'équation g '(x) = 0
puis étudie le signe de g '

rappel :
un quotient est nul ssi le numérateur est nul

Donc là pour e+x/x² = 0 on ne peut rien faire si ?

si tu veux dire qu'il n'y a pas de racine pour la dérivée sur l'intervalle ]0 ; +oo[
alors la réponse est oui
et ainsi que te l'a expliqué Paulus, la dérivée est tjrs >0 sur l'intervalle.
donc g est ..?

Strictement supérieure a 0 ?

regarde ce lien au 3)
http://www.knayer.com/post/12696704623/1ere-es-cours-formules-derivees-equation-tangente-taux

lorsque la dérivée est > 0, la fonction est croissante.

J'ai continué l'exercice peux-tu me dire si c'est bon ou pas stp ?

1)b) g(e) = ln(e) -e/e = 1

Tableau de signes de g :
x 0 1 +oo
g'(x) + +
g(x) - 0 +

(avec la double barre en dessous de 0 pour montrer la valeur interdite)

2)a) f(x) = (x-e) (lnx-1)

u= x-e u'= 1-e
v= lnx-1 v'= 1/x

f'(x) = (1-e) (lnx-1) + (x-e) (1/x)
= lnx - 1 - e^lnx + e + 1-e/x
= lnx - e^lnx + e-e/x
= lnx - e/x
--------> je ne suis pas sûre

b) Variation de la fonction f :

x 0 +oo
lnx +
-e/x +
lnx - e/x +
f (flèche qui descend)

3) f(x) = 0
<=> (x-e) (lnx-1) = 0

1)b) g(e) = ln(e) -e/e = 1 --- erreur, reprends

Tableau de signes de g :
x 0 ? +oo <--------- ce n'est pas 1 qui annule g
g'(x) + + ---ok
g(x) - 0 + ---ok
avec la double barre... ---ok

2)a) f(x) = (x-e) (lnx-1)

u= x-e u'= 1-e <--- non e est un nb, sa dérivée = 0 u ' = 1
v= lnx-1 v'= 1/x --- ok

f'(x) = (lnx-1) + (x-e) (1/x)
= ... à reprendre
= lnx - e/x
= g(x)--- ok


b) Variation de la fonction f :

x 0 ... ?... +oo
f' = g ----- utilise le tab. de signe. de g du 1b)
f non, variation à reprendre


3) f(x) = 0
<=> (x-e) (lnx-1) = 0
<=> (x-e)=0 OU (lnx-1) = 0
<=> ...? (attention au domaine de définition)