Exercice somme, divisibilité, congruences

Sujet du devoir

Bonjour,

j'ai besoin d'aide sur l'exercice suivant :

1) Soit x et p deux entiers naturels. Calculer la somme Sp = (-x)k

2) Montrer que quels que soient les entiers naturels x et n, x2n+1+1 est divisible par x+1.

3) En déduire que quels que soient les entiers naturels p et k, si k est impair alors l'entier (22p)k+1 est divisible par 22p+1.

4) Soit m un entier naturel non nul. Montrer que si 2m+1 est premier alors m est une puissance de 2.

5) L'entier 22n+1 où n est un entier naturel quelconque est-il toujours premier ?

Où j'en suis dans mon devoir

Pour la 1), je sais que la somme Sp = (-x)^k = (-x)^0+(-x)^1+...+(-x)^(p-1)+(-x)^p

2Sp = [1+(-x)^p] + ... + [(-x)^p+1]
Mais je n'arrive pas à déterminer combien de fois cela se répète, est-ce que le nombre de facteur est bien p ?

Voilà le post, est-ce donc correct ?