Exercice sur la position relative

Sujet du devoir

Soit un repère orthonormal. C est la courbe représentative de la fonction logarithme népérien et Dn est la droite d'équation y= x/e - n avec n entier naturel.
On veut étudier sur ]0,+infini[ la position relative de la droite C et de la droite Dn suivant les valeur de n.
1) Soit fn la fonction définie et continue sur ]0,+infini[ par : fn(x)= lnx - x/e + n avec n entier naturel.
a. Déterminer fn'(x) puis étudier son signe en fonction de x.
b. Déterminer en fonction de n l'image de e par fn.
c. Déterminer le tableau de variation de fn.
2. Etude dans le cas n=0
a. Donner le tableau de variation de fo puis en déduire le signe de fo
b. Déterminer sur]0,+infini[ la position relative de C par rapport à Do
c. Représenter C et Do dans le même repère.
d. Que représente Do par rapport à C ? Justifier.
3) Etude dans le cas n=1
a. Donner le tableau de variation de f1
b. Déterminer une valeur rapprochée de 0.25 et de 10.
c. Démontrer que l'équation f1(x)=0 admet deux solutions sur ]0,+infini[.
d. On note alfa la solution à f1(x)=0 telle que alfa e. Déterminer le tableau de signe de f1.
En déduire en fonction de x la position relative de C et de la droite D1.
4. Etude dans la cas n>1
a. Comparer e ^(-n) et e
b. Déterminer en fonction de n l'image de e^(-n) par fn et en déduire son signe.
c. En déduire que l'équation fn(x)=0 admet une unique solution, appelée alfa n sur ]0,e]
d. On admet que cette équation admet une deuxième solution notée beta n sur [e,+infini[. Étudier la position relative de C par rapport à la droite Dn.

Où j'en suis dans mon devoir

Bonjour, voilà où j'en suis :

1)a. fn'(x): (lnx)'+(x/e)'+(n)'
: 1/x -(e-x/e²)
: 1/x - 1/e
: e/xe - e/xe
: (e-x)/(xe)
Tableau de signes donc :
fn'(x) est positif de 0 à e
négatif de e à +infini.
b. fn(e) = lne-e/e + n
= 1-1 + n
= n

c. Tableau de variation :
f(x) est croissant de 0 à e puis décroissant de à + infini.

2)
f0(x) = lnx - x/e + 0
f0(x)' = 1/x - (e-x)/e²

a) J'ai calculé fO mais sur la calculatrice c'est toujours 0..