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Sujet du devoir
Salut,
J'ai déjà posté précédemment une question sur cet exercice mais je suis vraiment bloqué pour la suite, donc je vais posté le sujet entier, voici :
On considère la suite U(n) définie sur N par :
- U(0) = 8
- U(n+1) = racine(U(n) +12)
- Démontrer que, pour tout entier naturel n, U(n) >= 4.
- Chercher les premiers termes de la suite U(n) et conjecturer son comportement.
- a) Démontrer que, pour tout n appartenant à N : U(n+1) - 4 <= (U(n)-4)/4 b) En déduire que, pour tout n appartenant à N : U(n)-4 <= 1/4^(n-1)
- En déduire que la suite (Un) admet une limite finie que l'on précisera.
Où j'en suis dans mon devoir
Donc, la question 1. a été faite plus tôt avec beaucoup de difficultés et autant d'aide, pour la question 2. j'ai dit que la suite était majorée décroissante et convergente vers 4 (je n'ai justifiée cette conjecture qu'en écrivant les valeurs de la suite pour les n premiers rang, en faut-il plus ?). Mais c'est à la question 3. que ça coince, je suis assez embêté par cette division par 4, voilà ce que j'ai fait :
on admet (par la conjecture précédante) que la suite est décroissante pour tout n, on a donc
U(n+1) <= U(n)
U(n+1) - 4 <= U(n) - 4
..."insérer ce qui suit ici"
sauf que là je vois pas comment faire pour continuer, je n'ai aucune idée de ce qui suit ni de comment multiplier la droite de l'équation par 1/4.
donc pour la 3.b) je ne peux rien faire sans la 3.a) il ne reste que la 4. là je pense avoir besoin de la 3 aussi, la seule chose que je sait c'est que la limite est 4
d'avance merci
Cordialement, Thibault
15 commentaires pour ce devoir
Re-bonjour,
3a) Encore une démonstration par récurrence.
Toujours pareil vérifiez avec U1 et U0 si l’inégalité est vrai.
Ensuite, à partir de U(n+1) – 4 < (U(n) – 4 ) / 4 , passez tout du même coté du signe de comparaison. Vous allez arriver à une inéquation par rapport à 0 qui sera vrai (il faudra le prouvé en factorisant).
Concluez ensuite.
Je continuerai après.
Salut,
Je fait ça tout de suite...
donc, j'ai essayé de 2 manières différentes mais il y a certainement des erreurs :
1) Initialisation
U(n+1)-4 <= (U(n)-4)/4
racine(20) - 4 <= (8-4)/4
racine(20) - 4 <= 1
l'initialisation est vraie
2) Hérédité (là j'ai deux trucs complètement différents)
premier essai
U(n+1)-4 <= (U(n)-4)*(1/4)
(U(n+1)-4)*4 <= U(n)-4
((U(n+1)-4)*4)/U(n)-4 <= 0
or pour U(0) et U(1) on a ((U(n+1)-4)*4)/U(n)-4 = 0.47 donc c'est faux
second essai, j'ai mis de l'autre côté
U(n+1)-4 <= (U(n)-4)/4
-4 <= ((U(n)-4)/4) - U(n+1)
0 <= ((U(n)-4)/4) - U(n+1) + 4
là c'est vrai mais du coup je ne suis pas du tout sûr de mes calculs, pouvez-vous confirmer ??
(U(n+1)-4)*4 <= U(n)-4 , ok c’est bon.
L’erreur est ici :
((U(n+1)-4)*4)/U(n)-4 <= 0 , ce n’est pas par rapport à 0 mais à 1.
((U(n+1)-4)*4)/U(n)-4 <= 1 , mais cela ne sert à rien.
De (U(n+1)-4)*4 <= U(n)-4 on passe à (U(n+1)-4)*4 - U(n)+4 <= 0
Comprenez vous ?
Comment avez vous prouver que "0 <= ((U(n)-4)/4) - U(n+1) + 4" est toujours vraie?
Bon, j'ai finalement réussi à démontrer 3/a)
U(n+1) -4 = racine(U(n)+12)-4
U(n+1) -4 = racine(U(n)+12)-4 * racine(U(n)+12)+4 / racine(U(n)+12)+4
U(n+1) -4 = racine(U(n)+12)^2-4^2 / racine(U(n)+12)+4
U(n+1) -4 = U(n)+12-16 / racine(U(n)+12)+4
U(n+1) -4 = U(n)-4 / racine(U(n)+12)+4
Ce qui nous donne U(n)-4 / racine(U(n)+12)+4 <= U(n)-4 / 4 qui vrai puisque racine(U(n)+12)+4 >= 4
mais maintenant je ne vois pas comment réinvestir dans la 3/b) j'ai éssayer de multiplier les 2 côtés de l'inéquations par 1 / racine(U(n)+12)+4 pour retomber sur la 3/a) mais ça ne me mène à rien
je ne vois pas comment "multiplier les deux membres astucieusement pour pouvoir utiliser 3)a)" comme dit aldaric, HELP PLEASE
3)a) ok, tu as bien minoré le dénominateur, ce qui a pour effet de majorer la fraction (1/x est "grand" quand x est "petit")
mais attention a la façon dont tu écrit ! tu n'a mis aucune parenthèses avec les /
3)b) pour ta récurrence, écrit au rang n et en dessous au rang n+1. tu devrais voir par quoi multiplier pour avoir un des deux côtés, puis tu verras comment utiliser 3)a)
3b)
Toute l’astuce est de se rendre compte que U(n+1) - 4 <= (U(n)-4)/4 correspond à une suite géométrique
Si je pose V(n) = U(n) – 4 , cela donne V(n+1) < V(n) / 4.
Utilisez la formule du cours pour transformer la forme de cette suite.
4)
Modifiez l’inégalité trouvée à la question 3b).
Et concluez
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Bonjour,
2) C'est une conjecture, donc une hypothèse que tu fais. Tu écris les premiers termes, dit que ça semble décroissant et que c'est MINOREE (et pas majorée, ce qui est le cas mais qui n'apporte rien ici)
3)a) Ma solution est plutôt technique. il faut remarquer que Un+1 - 4 = sqrt(Un + 12) - sqrt(16)
puis il faut utiliser une identité remarquable pour se débarrasser des racines au numérateur (en multipliant par x/x) puis minorer le dénominateur pour avoir la majoration par (Un - 4)/4
3)b) il faut utiliser une récurrence avec l'hypothèse Un - 4 <= (1/4)^(n-1). il faut initialiser au rang n = 0 puis pour l'hérédité, multiplier les deux membres astucieusement pour pouvoir utiliser 3)a)
4) tu devrais pouvoir y arriver seul
Bonjour aldaric,
Quelle est l'identité remarquable à utiliser?
N'avez vous pas confondu a²-b² et √a - √b?
car pour la première, il y a un identité remarquable; mais pour la seconde, il n'existe pas de formule.
Bonjour,
sqrt(x)^2=x puisque x>=0, donc l'identité remarquable s'applique:
sqrt(a)^2-sqrt(b)^2 = (sqrt(a)-sqrt(b))(sqrt(a)+sqrt(b))
Pour l'appliquer, faudrait il que le carré de √(Un+12) soit présent. Où se situe t il ?
on va attendre que Thibault.D fasse son exercice , et vous donnerez votre solution miracle.
le but est de créer ce carré, en appliquant la formule dans "l'autre sens"
je donnerais ma solution "miracle" bien sûr
Salut,
désolé mais là "sqrt" tu me parles de choses dont j'ignorait l'existence même ^^
salut,
au temps pour moi, sqrt signifie racine carré en anglais (square root)
Ah oui tout de suite c'est plus compréhensible mais je ne vois pas ce que tu veux dire par "minorer le dénominateur pour avoir la majoration par (Un - 4)/4", moi j'ai
U(n+1) -4 <= U(n)-4 * 1/4
racine(U(n)+12)-4 <= racine(U(n-1)+12) - 4 * 1/4
on isole la droite :
racine(U(n-1)+12) - 4 / 4 = (racine(U(n-1)+12) - 4 * racine(U(n-1)+12) + 4/racine(U(n-1)+12) + 4) / 4
racine(U(n-1)+12) - 4 / 4 = ((4 + (racine(U(n-1)+12)^2 - 4))/racine(U(n-1)+12) + 4) / 4
racine(U(n-1)+12) - 4 / 4 = (U(n-1)+12racine(U(n-1)+12) + 4) / 4
mais minorer et majorer après je sais pas faire :/