Expodentielle, méthode d'Euler.

Sujet du devoir

On se propose d’étudier les fonctions f dérivables sur R qui vérifient :
F(0)=1 et f’=af où a est un réel donné (*)

A. Partie informatique
On souhaite construire avec la méthode d’Euler des courbes approchées de la fonction f.
Pour cela, on obtient les coordonnées de 200 points en créant :
- une liste de 200 abscisses (xn) telles que x100 et, pour tout n appartenant à N ,
xn+1=xn+0,05
- Une liste de 200 ordonnées (yn) telles pour tout n appartenant à N , soit calculé par une
approximation affine de f(xn)

1. a. Exprimer y101 l’approximation affine de f(0,05) en fonction de y100 et a.
b. Plus généralement, donner la relation entre yn+1 et ,pour yn puis la formule
associée à y101 que l’on va ensuite étirer.

2. a. Exprimer y99 l’approximation affine de f(-0,05) en fonction de y100 et a.
b. Plus généralement, donner la relation entre yn-1 et yn ,pour n inférieur ou égale à 100 puis la formule
associée à que l’on va ensuite étirer.

3. Construction de la feuille de calcul
a. Attribuer une cellule à la valeur de la constante a de façon à pouvoir la
modifier. On prendra pour le début a=1.
b. Construire les listes (xn) et (yn) dans 2 colonnes. Ne pas oublier de fixer l’adresse de la cellule contenant a avec un $.
c. Afficher la courbe correspondant au nuage des 200 points en réglant correctement la fenêtre.
4. Observation des résultats obtenues pour différentes valeurs de a.
a. Pour a=1 , quelle courbe reconnaissez vous ?
b. Donner les variations et les limites observées en fonctions des valeurs de a.
(Ne pas oublier d’essayer avec des valeurs négatives de a)


B Partie mathématique

1. Soit h(x)= expodentielle (ax)
a. Déterminer la fonction u telle que h= exp rond u
b. Après avoir justifié que h est dérivable sur R, calculer sa dérivée .

2. Soit g(x)=f(x)/exp(ax) où f est une fonction qui vérifie (*)
a. Justifier que g est une fonction dérivable sur R
b. Démontrer que g est une fonction constante sur R.
c. Conclure : Combien de fonctions vérifient la condition (*) ? quelles sont leurs
expressions ?

3. Démontrer les résultats observés à la question 4.b. de la partie A

Où j'en suis dans mon devoir

La question B1 en entier.
Pour la partie A, je bloque des le début, faut-il pour la A1a, utiliser la formule de l’approximation affine: f(h+a)=f(a)+f'(a)(h-a)?