La méthode de Héron

Sujet du devoir

La méthode de Héron pour calculer des valeurs approchées de la racine carrée de 2. Mise en situation, calcul des premiers termes, approche graphique

Exercice 1 : on considère un carré d'aire 2 et un rectangle de même aire de dimension a et 2/a(a rationnel, a>0 et a n'est pas égal à 2/a)

A-Expliquer pourquoi la racine carrée de 2 ne peut pas être strictement supérieure à la fois à a et à 2/a, peut-elle être à la fois strictement inférieure à a et à 2/a? Que peut-on en conclure?

B-Soit b=1/2(a+2/a)la moyenne arithmétique de a et 2/a, démontrer que 2/b appartient à l'intervalle ouvert d'extrémités a et 2/a(si a<2/a et si a>2/a).
Exercice 2 : Soit la suite (un) définie par u0=1 et un+1=1/2(un+2/un). on admet que tous les termes de la suite sont non nuls.

A-Calculer u0, 2/u0, U1, 2/u1, u2.
B-Calculer u3, u4(valeurs approchées à 10 puissance -6 près). En déduire la valeur approchée de racine carrée de 2 à 10 puissance -6 près.
Exercice 3 : Soit les fonctions f(x)=x et g(x)=1/2(x+2/x) pour x appartenant à ]0;2]

A-Déterminer les points d'intersection de leurs deux courbes.
B-Représenter graphiquement les premiers termes de la suite(un)et conjecturer sur le comportement de (un).

Où j'en suis dans mon devoir

Exercice 1
A-Raisonnement par l'absurde
On suppose que la racine carrée de 2>a et que la racine carrée de 2>2/a
Mais si (racine carrée de 2)>2/a donc a>2/(racine carrée de 2)et on a aussi : a>2/(racine carrée de 2)x(racine carrée de 2/racine carrée de 2) d'où : a>(2xracine carrée de 2)/2 c'est à dire a>racine carrée de 2, on en conclut que si (racine carrée de 2)>a, on ne peut pas avoir (racine carrée de 2)>2/a ,mais : (racine carrée de 2)<2/a.
De la même façon, on démontre que si : (racine carrée de 2)2/a.
B- 2/b= 2/1/2(a+2/a)=4/(a+2/a)
On sait que a>0 et a n'est pas égal à 2/a
Si a=2/a alors a=(racine carrée de 2)et 2/b=a
Mais si a>2/a alors (axa)>2 donc a>(racine carrée de 2) donc 2/b>a (extrémité inférieure de l'intervalle auquel appartient (2/b).
Exercice 3
A-soit f(x)=x et g(x)=1/2(x+2/x) 0ou=2
Au point d'intersection des 2 courbes f(x)=g(x), donc : x=1/2(x+2/x)c'est à dire : 0=1/2(x+2/x)-x, d'où : 1/2(x²+2/x)-(1/2)(2x²/x)=0, soit : 1/2(x²+2-2x²/x)=0, donc : 1/2(2-x²/x)=0, soit 2-x²/x=o si 2-x²=0 c'est à dire x²=2 et x=(racine carrée de 2), donc f(x)=g(x) quand x=(racine carrée de 2) et f(racine carrée de 2)= (racine carrée de 2) et g(racine carrée de 2)=2/(racine carrée de 2)=(racine carrée de 2)