position relative tangente exponentielle

Sujet du devoir

Bonjour a tous !

courbe CK et Ck quelconque
1) K et k désignent deux réels tels que K>k
donner les positions relatives de CK et Ck

2) on a tracé ci-contre C0, C-1, C2,C1, C1/2 et C1/3
identifier chaque courbe en donnant son nom et une explication
tracer lorsqu'elles existent les tangentes horizontales.

Où j'en suis dans mon devoir

j'ai fait fK-fk
ce qui équivaux à [ eKx-ekx]/x
mais comment continuer pour l'étude du signe ?
si je fais :

eKx-ekx]/x>0
eKx-ekx]>x
Kx-kx>lnx ( il faut que x soit positif pour pouvoir dire ça, or je n'en suis pas sure :/ )
or K>k donc K-k>0 mais lnx me pose problème

alors ici je dirais que C0 est la courbe .-.-.- car elle passe par le point (1,1) et que ce point vérifie 1/x

pour C1 il s'agit de la courbe en grand tirets car f1(1)=2,7 or il s'agit de la seul courbe passant par (1;2,7)

pour C-1 on a la courbe en trait plein la plus basse dont f-1(1)=0,36

pour C1/2 on a la courbe pleine passant par 1,65 car f1/2(1)=1,65

pour C1/3 il s'agit de la courbe en petits tirés passant par 1,4 car f1/3(1)=1,4

et donc C2 est la courbe la plus haute car a mesure que k augmente "la pente" de C augmente

que pensez vous de mes hypothèses ?
et de mes justifications ? comment puis-je être plus rigoureuse ?

pour les tangentes horizontales il y en a a chaque minimum ?

je n'ai pas encore réussi a compresser l'image des courbes