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Sujet du devoir
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé (O,u,v).On considère la transformation f du plan qui, à tout point M d'affixe z associe le point M' d'affixe z' définie par z'=z*e^(5iPi/6) et on définit la suite de points (Mn) de la manière suivante: Mo a pour affixe zo=i et pour tout entier naturel, Mn+1=f(Mn). On appelle zn l'affixe de Mn.
1) Construire les points M1, M2 et M3 après avoir déterminer leurs affixes.
2)Justifier que f est une similitude dont on déterminera le rapport.
3) Déterminer l'ensemble des point invariants de f.
4) Montrer que pour tout entier naturel n, OMn=OMn+1 et déterminer, en justifiant votre réponse, une mesure de (OMn,OMn+1)( Angle orienté)
5) Montrer que pour tout entier naturel n, zn=e^i[(Pi/2)+5nPi/6)]
6) Soient deux entiers n et p tels que n est supérieur à. Montrer que Mn et Mp sont confondus si (n-p) est un multiple de 12.
7) Déterminer les entiers n tels que Mn appartienne à l'axe des abscisses.
Où j'en suis dans mon devoir
Je viens de commencer mais déjà je ne suis pas sur à la première question: Par exemple pour calculer l'affixe de M1: Z1=Z0*e(5iPi/6). Est ce bon déjà?Merci de m'aider.
24 commentaires pour ce devoir
Tout d'abord merci de m'aider.
2) Oui mais pour le démontrer je dis juste que c'est une multiplication par e^i5Pi/6 ?
3)Il faut que z'=z et à la fin je trouve e^5IPi/6=1. ça représente quoi ?
2) Oui mais pour le démontrer je dis juste que c'est une multiplication par e^i5Pi/6 ?
3)Il faut que z'=z et à la fin je trouve e^5IPi/6=1. ça représente quoi ?
2) oui, il faut écrire que la transformation est de la forme z' = z * e^ithêta avec thêta = 5 pi / 6, ce qui est l'écriture analytique d'une rotation d'angle 5 pi / 6
enfin il faut surtout que tu rédiges comme votre prof vous l'a montré (voir dans un exercice ou dans un exemple du cours ou du livre)
3) tu bloques à cause d'une erreur de rédaction
on cherche à résoudre z' = z (ça, OK)
ça fait z*e^5iPi/6 = z
et là faut pas simplifier par z mais tout passer à gauche, factoriser et résoudre
car au final, c'est z qui est égal à 0 ( car e^5ipi/6 - 1 ne peut pas être égal à 0 , tu comprendras pourquoi je dis ça après voir effectuer la factorisation)
enfin il faut surtout que tu rédiges comme votre prof vous l'a montré (voir dans un exercice ou dans un exemple du cours ou du livre)
3) tu bloques à cause d'une erreur de rédaction
on cherche à résoudre z' = z (ça, OK)
ça fait z*e^5iPi/6 = z
et là faut pas simplifier par z mais tout passer à gauche, factoriser et résoudre
car au final, c'est z qui est égal à 0 ( car e^5ipi/6 - 1 ne peut pas être égal à 0 , tu comprendras pourquoi je dis ça après voir effectuer la factorisation)
Je trouve z(e^5ipi/6 - 1) =0 Mais je fais quoi maintenant ?
comme avec les réels, pour que ce produit soit nul il faut que l'un des des facteurs soit nul
comme e^5iPi/6 ne peut pas être égal à 1 (1 étant e^0) c'est forcément z qui est égal à 0
le point invariant est donc le point d'affixe 0, c'est à dire le point O, l'origine du repère
comme e^5iPi/6 ne peut pas être égal à 1 (1 étant e^0) c'est forcément z qui est égal à 0
le point invariant est donc le point d'affixe 0, c'est à dire le point O, l'origine du repère
Ah mais oui ... Merci.
Et pour la 5) vous me dîtes par récurrence mais on a pas encore refait les suites cette années pourriez vous m'éclairer ?
Et pour la 5) vous me dîtes par récurrence mais on a pas encore refait les suites cette années pourriez vous m'éclairer ?
si tu n'as pas encore vu le "raisonnement par récurrence" cette année je dois donc trouver une autre façon de faire...
Cela ne presse pas prenez votre temps.
pour la 5):
z1 = z0 * e^5iPi/6
z2 = z1 * e^5iPi/6
z3 = z2 * e^5iPi/6
... = ...
zn = zn-1 * e^5iPi/6
on multiplie ces n équations entre elles :
z1 * z2 * ... * zn = z0*e^5iPi/6 * z1*e^5iPi/6 * ... * zn-1*e^5iPi/6 *
essaye de finir la démonstration ! elle est similaire à celle qu'on fait en 1ère pour les formules pour les suites géométriques: http://homeomath.imingo.net/suitgeo.htm
z1 = z0 * e^5iPi/6
z2 = z1 * e^5iPi/6
z3 = z2 * e^5iPi/6
... = ...
zn = zn-1 * e^5iPi/6
on multiplie ces n équations entre elles :
z1 * z2 * ... * zn = z0*e^5iPi/6 * z1*e^5iPi/6 * ... * zn-1*e^5iPi/6 *
essaye de finir la démonstration ! elle est similaire à celle qu'on fait en 1ère pour les formules pour les suites géométriques: http://homeomath.imingo.net/suitgeo.htm
C'est simple en faite. Merci
c'est pas moi qui l'ait dit ! ;-)
Pour la 4) je ne vois pas comment faire..
4) OMn = module de zn
OMn+1 = module de zn+1
tu peux calculer ces modules et t'apercevoir que tu obtiens le même résultat
( OMn , OMn+1 ) = argument de (Zn+1 - zO)/(zn - zO) [formule à vérifier avec ton cours] avec zO = affixe du point O = 0 donc
OMn+1 = module de zn+1
tu peux calculer ces modules et t'apercevoir que tu obtiens le même résultat
( OMn , OMn+1 ) = argument de (Zn+1 - zO)/(zn - zO) [formule à vérifier avec ton cours] avec zO = affixe du point O = 0 donc
Oui après j'avais dis que zn+1=zn*e^5iPi/6
Donc ( Omn, Omn+1) =arg[( zn*e^5iPi/6) /zn]=arg ( e^5iPi/6) C'est bon ?
Donc ( Omn, Omn+1) =arg[( zn*e^5iPi/6) /zn]=arg ( e^5iPi/6) C'est bon ?
oui, et arg(e^5iPi/6)=5pi/6
de toute façon tout ceci se contrôle avec la figure
de toute façon tout ceci se contrôle avec la figure
Ah bon ! Et je trouve zm et zm+1 mais il sont pas égaux, si ?
non, zn et zn+1 ne peuvent pas être égaux puisqu'entre les deux il y a eu rotation
j'avoue ne pas bien comprendre ton interrogation, si zn et zn+1 avaient été égaux, il n'y aurait pas d'exercice (M1=M0 et M2=M1 et M3=M2 etc etc...)
j'avoue ne pas bien comprendre ton interrogation, si zn et zn+1 avaient été égaux, il n'y aurait pas d'exercice (M1=M0 et M2=M1 et M3=M2 etc etc...)
Mais justement la question est démontrer que OMn=OMn+1 ce qui correspond à démontrer que zn=zn+1 non ?
non! à démontrer que |zn| = |zn+1|, ce qui n'est pas pareil !
contre-exemple rapide: les points I d'affixe 1 et J d'affixe i ont pour module 1 mais zI différent de zJ
contre-exemple rapide: les points I d'affixe 1 et J d'affixe i ont pour module 1 mais zI différent de zJ
Désolé de vous répondre aussi tardivement. Mais je ne vois pas comment calculer leurs modules. Pouvez vous m'aider?
Désolé de vous répondre aussi tardivement. Mais je ne vois pas comment calculer leurs modules. Pouvez vous m'aider?
z' = z * e^(5iPi/6)
càd:
zn+1 = zn * e^(5iPi/6)
donc |zn+1| = |zn * e^(5iPi/6)|
=> le module d'un produit est égal au produit des modules
=> le module d'un complexe qui s'écrit sous la forme e^ithêta est toujours égal à 1 (voir cours)
=> sans oublier que OMn = |zn|
voilà!
càd:
zn+1 = zn * e^(5iPi/6)
donc |zn+1| = |zn * e^(5iPi/6)|
=> le module d'un produit est égal au produit des modules
=> le module d'un complexe qui s'écrit sous la forme e^ithêta est toujours égal à 1 (voir cours)
=> sans oublier que OMn = |zn|
voilà!
Ah je me doutai bien sur c'était comme ça. Encore merci.
Et bien merci, j'ai enfin fini mon dm. Je vous souhaite une bonne année 2012 :). Je ferme le sujet et je vous donne vos bons points!
Ils ont besoin d'aide !
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2) et 3) : c'est une rotation, voir dans ton cours comment le justifier et déterminer le point invariant
4) découle du 2) (voir propriété d'une rotation)
5) par récurrence je pense