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Sujet du devoir
On admet l'encadrement (E):(E)"pour tout réel x ∈ [0, pi], x-(x³/6)<=sin(x)<=x"
On pose pour tout n>=1:
(Un) = sin(1/n²) + sin(2/n²) + ... + sin(n/n²)
(Vn) = 1/n² + 2/n² + ... + n/n²
L'objectif est d'étudier la convergence de la suite (Un)
Voilà les deux questions auxquelles je n'arrive pas à répondre:
2 a) Justifier que pour tout n>=1 1³+2³+...+n³ <= n^4
b) En déduire à l'aide de l'encadrement (E) que pour tout n>=1
(Vn)- 1/6n² <= (Un)
Où j'en suis dans mon devoir
_J'ai déjà répondu à la question 1 à savoir "Déduire de l'encadrement (E) que pour tout n>=1 (Un)<(Vn)J'ai écris que d'après l'encadrement (E), pour x = Vn on a sin(Vn) <= Vn <=> Un <= Vn
_J'ai également trouvé une façon de répondre à la question 2)a) à savoir "Justifier que pour tout n>=1 1³+2³+...+n³ <= n^4" mais malheureusement ce n'est pas la bonne méthode, et je ne la détaillerais pas car elle est très mauvaise.
9 commentaires pour ce devoir
1³+2³+...+n³ <= n^4 car n^4=n*n^3 et n*n^3>=1³+2³+...+n³ (somme de n termes tous <= n^3)
Pour l'encadrement il faut faire les 2 cotés de
x-(x³/6)<=sin(x)<=x
soit
Vn-(1/6)somme(1/n^3)<=Un<=Vn
ensuite la remarque 2a) permet d'avancer...
Pour l'encadrement il faut faire les 2 cotés de
x-(x³/6)<=sin(x)<=x
soit
Vn-(1/6)somme(1/n^3)<=Un<=Vn
ensuite la remarque 2a) permet d'avancer...
Tout d'abord merci de votre réponse, et de vous intéresser à mon cas. Malheureusement je ne comprend toujours pas, pourriez vous me rappeler de quel propriété parlez vous lorsque vous dites "somme de n termes tous <= n^3"?
En fait pour montrer que 1³+2³+...+n³ <= n^4 j'avais fait une récurrence qui prouvait que 1³+2³+...+n³ = (n(n+1)/2)^2 et ensuite j'avais montré que pour un X positif on avait X((n(n+1)/2)^2) = n^4 et par conséquent que (n(n+1)/2)^2<=X(n(n+1)/2)^2 <=> 1³+2³+...+n³ <= n^4.
Je ne vous montre pas le détail du calcul qui était est bien trop long et semble bien trop compliqué par rapport à la solution que vous semblez me proposer.
Merci d'avance pour vos lumières !
En fait pour montrer que 1³+2³+...+n³ <= n^4 j'avais fait une récurrence qui prouvait que 1³+2³+...+n³ = (n(n+1)/2)^2 et ensuite j'avais montré que pour un X positif on avait X((n(n+1)/2)^2) = n^4 et par conséquent que (n(n+1)/2)^2<=X(n(n+1)/2)^2 <=> 1³+2³+...+n³ <= n^4.
Je ne vous montre pas le détail du calcul qui était est bien trop long et semble bien trop compliqué par rapport à la solution que vous semblez me proposer.
Merci d'avance pour vos lumières !
n^4 = n * n^3 = n^3 + n^3 + n^3 +.....+ n^3 <= 1^3 + 2^3 + 3^3 +.....+ n^3. Ca se voit tout simplement.
>= faute de frappe
n^4 = n * n^3 = n^3 + n^3 + n^3 +.....+ n^3 >= 1^3 + 2^3 + 3^3 +.....+ n^3. Ca se voit tout simplement.
Merci infiniment.
Si j'ai bien compris il faut que je montre que 1/n^2<=(Vn)^3 pour résoudre la question 2)b)?
Je suis désolé mais je n'y arrive pas malgré mes efforts, je crois que je n'ai pas adopté une bonne façon de penser en mathématiques n'ayant pas eu de professeur depuis la 3ème. J'ai l'impression de raisonner comme une machine et je n'arrive pas à "voir" les choses simplement.
Je vous remercie d'avance de m'apporter encore un minimum d'aide afin que je progresse parce que je désespère de résoudre cet exercice (déjà plusieurs jours dessus pour zéro résultat.)
Je suis désolé mais je n'y arrive pas malgré mes efforts, je crois que je n'ai pas adopté une bonne façon de penser en mathématiques n'ayant pas eu de professeur depuis la 3ème. J'ai l'impression de raisonner comme une machine et je n'arrive pas à "voir" les choses simplement.
Je vous remercie d'avance de m'apporter encore un minimum d'aide afin que je progresse parce que je désespère de résoudre cet exercice (déjà plusieurs jours dessus pour zéro résultat.)
C'est bon j'ai finalement compris et c'était effectivement beaucoup plus simple que je croyais.
1/n^2 <= 1/n^2+2/n^2+...+n^2
1/n^2 <= (1/n^2+2/n^2+...+n^2)^3
1/n^2 <= (Vn)^3
Soit Vn-(1/6)*(Vn)^3 <= Un
On a Vn-(1/6)*1/n^2 <=Un
Merci à tous de votre aide :)
1/n^2 <= 1/n^2+2/n^2+...+n^2
1/n^2 <= (1/n^2+2/n^2+...+n^2)^3
1/n^2 <= (Vn)^3
Soit Vn-(1/6)*(Vn)^3 <= Un
On a Vn-(1/6)*1/n^2 <=Un
Merci à tous de votre aide :)
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Pour l'encadrement il faut faire les 2 cotés de
x-(x³/6)<=sin(x)<=x
soit
Vn-(1/6)somme(1/n^3)<=Un<=Vn
ensuite la remarque 2a) permet d'avancer...