Term S : SUITES : problème :système et factorisation

Sujet du devoir

Bonjour je bloque sur les question 4a 6 et 7, merci d'avance pour votre aide ! Ce devoir maison est a rendre pour demain...

Partant d'un couple de lapins, combien de couples obtiendrons nous apre un nombre un nombre donnée de mois, sachant que chaque couple donne naissance a un nouveau couple chaque mois, lequel ne devient productif qu les deuxième mois apres sa naissance?

Noton Un, le nombre de couples de lapins au bouger n mois
- au début pas de lapins Uo=0
- 1er mois, on place un couple de lapins U1= 1
- 2e mois, le couple n'a pas encore donnée naissance donc U2=1
-le 3ème mois, le couple a donne naissance a un autre couple de lapin U3=2
- le 4ème mois le premier couple de lapin a donne naissance a un autre couple de lapins U4=3
-le 5e mois, les deux couples présents au troisième mois donne naissance donnent naissances donc U5=5

1) calculer le nombre de couples de lapins les mois suivant et vérifier que U10=55

2 justifier la relation de récurrence Un+2 = Un+1 + Un

3 résoudre l'équation 1/(1-x) = -x on note alpha (&) la solution positive et bêta (B) la solution négative

4 on pose pour tout entier naturel n Vn= Un+1 - &Un
a- démontrer que la suite ( Vn) est géométrique de raison 1 - &Un
b- en déduire l'expression de Vn en fonction de n

5) on admet qu'un travail similaire montre que la suite définie par Wn = Un+1 - BUn est géométrique de raison 1-B donner l'expression de Wn en fonction de n

6) en déduire que pour tout entre naturel n, ( V correspond a une racine carré!) UN = 1/V5 ( (1+V)/2) ^n - 1/V5 ( (1-V5)/2)^n

7 le rapport Un+1/ Un donne une idée de l'accroissement du nombre de couples de lapins : conjecturer une valeur approchée de cet accroissement n assez grand

Où j'en suis dans mon devoir

1) U2=U1+U0 = 1+0 = 1
U3 = U2 + U1 = 1+1 = 2
U4 = U3 + U2 = 2 + 1 = 3
J'ai continue sur ce même principe les 6 autre Un
D'où j'ai trouve que
U5 =5
U6 = 8
U7 = 13
U8 = 21
U9 = 34
U10 = 5

2) je justifie : le nombre de couple de lapin au bout de 2 mois ( Un+2) est égale au nombre de couple de lapin que nous avons en tout ( Un+1) a cela on ajoute le couple de lapin issus du couple pouvant se reproduire ( Un)

3) 1/(1-x) = -x
Df \{-1}
J'ai trouve delta = 5
X1 = (1-(racine carre) V5) / -2 donc c'est alpha &

X2 = (-b -V5) / -2 donc c'est bêta B

4) Vn = Un+1 - & Un
-> Vn+1 = Un +2 - &Un+1
= Un+1 + Un - & Un+1

et la je bloque

5) Vn =VO * (1-&)^n
Vo = 1
Vn = (1-&)^n
De même que pour Vn,
Wn= ( 1-B)^n

6 ) j'ai tente de faire un système
Donc
Vn = Un+1 - &Un (1)
Wn = Un+1 - BUn (2)

Donc Un+1 = Vn + &Un (1)
Donc (2) devient Wn = Vn + &Un - BUn

Et la je bloque