Évolution d'une population

Sujet du devoir

Chaque année 20 % de la population d'une ville X migre vers une ville Y et 5 % de la population de Y migre vers X. On suppose pour simplifier que ces migrations sont les seuls facteurs influant sur la poppulation des deux villes.
On note x et y les population des villes X et Y une année donnée et x' et y' l'année suivante.
On note : X = [ x et X' = [ x'
y] y']
1) Expliquer pourquoi X'= AX où A est une matrice à préciser.
2) Si la population actuelle de X est 8500 et celle de Y 11500, quelles étaientles population l'année précédente ?
3) Calculer la répartition des populations au bout de trois année
4) Par quelle relation la répartition de la population est 'elle donnée au bout de n année ?
5) Donner à 10^(-3) près les matrices A^10; A^30; A^50; A^100
6) Qu'observe t'on ?
7) Quelles seront les populations au bout de 50 ans ?
8) Si la population totale des deux villes est x+y = 20000, quelles seront les populations 50 ans après ? Cela dépend t 'il de la répartition initiale ?

Où j'en suis dans mon devoir

1) La population des villes de l'année suivante notée X' est le résultat du produit de la matrice A soit les pourcentages de migrations d'une ville à une autre et de la population actuelle des deux villes soit la matricée notée X'

A = [ 0,8 0,05 ← Situation de la ville X
0,20 0,95 ] <-- Situation de la ville Y

2) J'ai essayé de calculer avec X' = AX donc X= AX'
[85 000 = [0,8 0,05
11 500] 0,20 0,95] * X'
Mais je ne suis pas sûre.

3) A³ = [ 43/80 37/320
37/80 283/320]


A³ * X = [ 5898,4375 → [ 94375/16
1411, 5625] 1411, 5625]

4) La population au bout de n année sera A^n X

5) A¹°= [ 0, 245 0,189
0,755 0,811]

A³° = [ 0,200 0,200
0,800 0,800]

A⁵° = [ 0,200 0,200
0,800 0,800]

A¹°° = [0,2 0,2
0,8 0,8 ]

6) Au cours des années, la population des villes stagne.

7) Je n'ai pas pu répondre à cette question car elle est en lien avec la question 2

8) Je n'arrive pas à poser la problème.

Merci d'avance de m'aider..