Aires de disques et discriminant

Sujet du devoir

Sur la figure ci-contre, C est le cercle de centre O et de diamètre [AB] tel que AB = 2 cm. 
M est un point de ce segment.

On construit les deux disques D1 et D2 de diamètres respectifs [AM] et [MB].

Le but de l'exercice est de déterminer la position du point M pour que la surface colorée soit maximale.

On pose AM = x, où x est un réel.

1 - À quel intervalle I appartient le réel x ?

2 - Démontrer que l'aire de la surface colorée est A(x) = Pi ( x - x^2/2)

3 - Pour quelles valeurs de x l'aire de la surface colorée est-elle supérieure ou égale à 3Pi/8 ?

4 - Déterminer la forme canonique de la fonction A.

5 - Dresser le tableau de variation de la fonction A.

6 - Répondre au problème posé et préciser l'aire maximale.

Où j'en suis dans mon devoir

Bonjour :)

Concernant les questions 1 et 2, je suis tout bon.

J'ai avancé dans mon exercice jusqu'à la dernière question mais un problème se pose : ma forme canonique est fausse et bien que je la développe je trouve bien le trinôme utilisé et trouvé lors de la question 3.

3 - J'ai posé l'inéquation : 

Pi ( x - x^2/2) supérieur ou égale à 3Pi/8

En développant je trouve :

2Pix - Pix^2 / 2 - 3Pi/8

Je le met sur le même dénominateur, donc sur 8 

sachant que je ne peux pas simplifier, je décide de multiplier la fraction par 8, ce qui me donne :

64Pix - 32Pix^2 - 24Pi

Je décide de diviser le tout par Pi pour les annuler 

je trouve donc un trinôme :

-32x^2 + 64x - 24 

J'ai calculé son discriminant :

b^2 - 4ac = 1024

J'ai calculé ses racines je trouve 1/2 et 3/2

J'ai fait le tableau de signe afin de résoudre l'inéquation et je trouve que lorsque x est comprit entre 1/2 et 3/2 l'aire de la surface colorée est supérieure ou égale à 3Pi/8

Pour la question 4, j'ai donc calculé sa forme canonique avec alpha = -b/2a 

Alpha = 1

et bêta = l'image de alpha sur la fonction A soit 8

Le tableau de variation, montre une croissance entre 0 et 1 et une décroissance entre 1 et 2.

Mais, lorsque je m'attelle a la question 6, je trouve que l'aire de la surface colorée est maximale lorsque x = 1 car A(1) = 8 (selon mon tableau de variations) mais quand je le calcule ça me donne 1,57 :(

J'aimerai comprendre mon erreur en espérant que quelqu'un pourra m'aider, cet exercice est vraiment compliqué à comprendre initialement et j'aimerai comprendre pourquoi je ne trouve pas 1,57, alors que mon tableau donne 8.

Merci de m'avoir lu jusque là :)

bonne journée