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Sujet du devoir
Euler a démontré que si A, B, C et D sont quatre points du plan ou de l'espace, alors on a l'égalité qui s'exprime vectoriellement de la manière suivante :
AB . DA + BD . AC + AB . DC = 0 (ce sont des vecteurs et le "." représente le produit scalaire)
a) Démontre cette égalité dans l'espace
- en exprimant AB, BC et AC comme différences de vecteurs ayant D comme origine;
- en effectuant lesproduits scalaires obtenus et en citant la propriété utilisée;
- en démontrant au passage l'égalité vectorielle AB . BC = -(AB . CB) ("." représente le produit scalaire)
Où j'en suis dans mon devoir
Bonjour,
J'ai renoté l'égalité d'Euler mais je n'ai absolument aucune idée de comment commencer la démonstration même avec les indications..
Merci
7 commentaires pour ce devoir
Voilàb c'est fait :
DA . DC + DA . BD + BD . DC + BD. AD + DC . DB + DC . AD = 0
Donc la propriété c'est la linéarité ?
Je dois maitenant effectuer les produits scalaires ? Merci
Non, il faut regrouper par vecteurs qui s'annulent:
DA . DC + DA . BD + BD . DC + BD. AD + DC . DB + DC . AD =
DA . DC + DC . AD + DA . BD + BD. AD + DC . DB + BD . DC =
On factorise DC dans les deux premiers termes , BD les deux suivants et DC dans les deux derniers.
Que trouve t on alors?
On trouve 0 + 0 + 0 = 0
oui
on trouve
DC (DA+AD) + BD (DA+AD) + DC (DB+BD)
Comme DA+AD = DD = 0
DC . 0 + BD . 0 + DC . 0
donc = 0
tout cela en vecteur evidemment.
Ils ont besoin d'aide !
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Bonjour,
L’énoncé est-il correct ?
Je pense qu’il y a une erreur dans l’énoncé.
La formule des produits scalaires d’Euler est BC.DA+BD.AC+AB.DC=0
La première indication :
Il faut avec la relation de Chasles, faire apparaître D.
AB = AD + DB
On demande de faire apparaître une différence de vecteurs ayant D comme origine.
Donc AB = DB + AD = DB – DA
AB = DB – DA
Essayez de faire les autres : AC et BC
La deuxième indication :
Remplacez AB , AC et BC par les expressions trouvées dans le produit scalaire.
La troisième indication :
Passez tous les termes du même coté du signe égal et factorisez AB.
Tenir au courant.
Merci beaucoup :)
Donc
BC = DC - DB
AC = DC - DA
(DC -DB) . DA + BD . (DC -DA) + (DB-DA) . DC = 0
Que dois-je faire maintenant ?
Merci
Distribuez
Exemple : (AB+AC)BC = AB.BC+AC.BC