Calculs de vecteurs

Publié le 18 oct. 2011 il y a 12A par Anonyme - Fin › 20 oct. 2011 dans 12A
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Sujet du devoir

Ex 109 p. 189 => Transmath 1ère S

ABC est un triangle. Les points P,Q e R sont tels que:

_Vecteur PA = x vecteur PB
_Vecteur QB = y vecteur QC
_Vecteur RC = z vecteur RA

On choisit le repère (A;AB;AC)

1. Calculez les coordonnées des points P,Q et R.

2. Démontrez que P,Q et R sont alignés équivaut = x * y * z = 1 (C'est le théorème de Menelaüs)

Où j'en suis dans mon devoir

Pour l'instant, j'ai réussi à calculer les coordonnées du point P : (x/1-x;0)

J'ai réussi a le calculer vu que ce point se trouve sur un axe.

J'aimerais savoir comment trouver les coordonnées des autres points.

Merci beaucoup.



45 commentaires pour ce devoir


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Anonyme
Posté le 19 oct. 2011
bonjour
pour établir les coordonnées des points, utilise la relation de Chasles dans les égalités qui te sont données :

VectPA = x vectPB
VectPA = x (vectPA + vect AB)
VectPA - x * vectPA = x * vect AB
VectPA ( 1 - x) = x *vect AB
VectAP = vect AB * x/( x-1)

on sait vectAB (1;0)
donc VectAP (x/(x-1); 0) --> P(x/(x-1); 0)
que tu as déjà trouvé

utilise la même méthode pour Q et P
Anonyme
Posté le 19 oct. 2011
VectQB = y vectQC
VectQA + vect AB = y (vectQA + vectAC) = .....


VectRC = z vectRA
VectRA + vectAC = z vectRA
Anonyme
Posté le 19 oct. 2011
pour la 2)
si P, Q et R alignés, alors vectPQ et vectPR colinéaires
pose x/x' = y/y',
puis fais le produit en croix, tu arrives à xyz = 1
x, y, x', y' étant les coordonnées respectives de vectPQ et vectPR

as-tu compris?
Anonyme
Posté le 19 oct. 2011
Merci pour ton aide.

J'ai donc trouvé :
_P (x/(1-x);0)
_Q (y/(1-y) ; -y/(1-y) )
_R (0:z/(1-z) )

Pour la 2, faut il que j'utilise les coordonnées des points ou les valeurs des vecteurs ?!

Anonyme
Posté le 19 oct. 2011
P (x/(1-x);0) --> oui
Q (y/(1-y) ; -y/(1-y) ) --> oui mais simplifie : y/(y-1)
R (0; z/(1-z) ) --> non 1/(1-z) (sans doute erreur de frappe)

coordonnées de vecteurs - donc, à établir
Anonyme
Posté le 19 oct. 2011
Pour les coordonnées du point Q, j'ai trouvé que:

Vect QA + Vect AB = y Vect QA + y Vect AC
VEct QA - y Vect QA + Vect AB = y Vect AC
Vect QA (1-y)/(1-y) = y (Vect AC - Vect AB) / (1-y)
Vect QA = y Vect AC / 1-y - Vect AB/(1-y)
Je trouve donc Q ( y/(1-y) ; -1/(1-y) )

Est-ce cohérent ?!
Anonyme
Posté le 19 oct. 2011
euh... relis mon message de 9h31 ...
Anonyme
Posté le 19 oct. 2011
mes excuses, j'ai mal lu :(
Anonyme
Posté le 19 oct. 2011
par contre tu n'as pas besoin de faire ce calcul pour trouver les coordonnées de P, Q et R

puisque tu as défini les coordonnées de vectAP, vectAQ, vectAR
et puisque A est l'origine du repère

les coordonnées des points sont les mêmes que ces vecteurs
Anonyme
Posté le 19 oct. 2011
établis les coordonnées de vectPQ et vectPR
Anonyme
Posté le 19 oct. 2011
Avec:

Vect PQ = -1 / ( 1-y) - x / (1-x)
-y / (1-y) - 0
&
Vect PR = 0 - x / (1-x)
-z / (1-z) - 0

??!!
Anonyme
Posté le 19 oct. 2011
attention pour R, tu n'as pas corrigé
Anonyme
Posté le 19 oct. 2011
quand tu écris
-1 / ( 1-y) - x / (1-x)
-y / (1-y) - 0
-z / (1-z) - 0

devant, c'est de tirets ou des signes moins?
Anonyme
Posté le 19 oct. 2011
Exact => Vect PR = 0 - 1 / (1-x)
-z / (1-z) - 0
Anonyme
Posté le 19 oct. 2011
Ce sont des tirets.
Anonyme
Posté le 19 oct. 2011
plusieurs erreurs, sans doute de frappe (c'est pas évident via clavier)

Vect PQ
abs :
1/(1-y) + x/(1-x) ----> attention au signe
---> simplifie cette expression

ord :
y / (y-1)
Anonyme
Posté le 19 oct. 2011
Mais pourquoi on met un "+" pour les abs du vecteur PQ ?!
Ca devrait être -1 / (1-y) - x / ( 1-x )

Quelles sont les coordonnées des points que tu as trouvés ?!
Anonyme
Posté le 19 oct. 2011
Vect PR
abs :
- 1 / (1-x) ---> erreur + x / (1-x)
ord :
-z / (1-z) - 0 ----> erreur +1 /(1-z) - 0

est-ce des erreurs de frappe?
est-ce que ces rectifications sont cohérentes avec ce que tu as sur le papier?


Anonyme
Posté le 19 oct. 2011
P (x/(x-1);0)
Q (1/(1-y) ; y/(y-1) )
R (0; 1/(1-z) )
Anonyme
Posté le 19 oct. 2011
j'ai un problème avec mon ordi
si ça coupe, je reviens !
Anonyme
Posté le 19 oct. 2011
C'est étrange...
Pour P: abs = x / (1-x) & ord = 0
Pour R: abs = 0 & ord = -z / (1-z)
Pour Q: abs = -1 / (1-x) & ord = x / (1-x)

Sommes nous d'accord ?! =S
Anonyme
Posté le 19 oct. 2011
ça remarche
Pour P: abs = x / (1-x) & ord = 0
revois au début
tu dois avoir vectPA(1-x) = x vect AB
vectPA = x/(1-x)AB
pour le mettre à vectAP, tu prends l'opposé
donc tu obtiens : x/(x-1)

regarde pour ça et dis moi
Anonyme
Posté le 19 oct. 2011
Ok je comprend, pour prendre l'opposé, on peut pas faire
Vect PA = x / (1-x) Vect AB => Vect PA = - x / (1-x) Vect AB

?!!
Anonyme
Posté le 19 oct. 2011
on enlève les mentions 'vecteur' pour la suite (c'est plus clair)

PA = - x / (1-x) AB -> non, si tu prends un opposé d'un coté, il faut le prendre le l'autre aussi
ça devient donc

PA = x / (1-x) AB
AP = - x / (1-x) AB
AP = x / (x-1) AB




Anonyme
Posté le 19 oct. 2011
pour R

RA+AC = z RA
RA-zRA = -AC
RA(1-z) = -AC
AR(1-z) = AC
AR = 1/(1-z) AC
Anonyme
Posté le 19 oct. 2011
D'accord ;)
Anonyme
Posté le 19 oct. 2011
pour Q

QA+AB = y(QA+AC)
QA(1-y) = -AB+yAC
AQ (y-1) = -AB+yAC

AQ = 1/(y-1) (-AB+yAC)---> cordonnées de ce vecteur : (-1;y)

abs de Q : 1/(1-y)
ord : y/(y-1)

t'y retrouves-tu?
Anonyme
Posté le 19 oct. 2011
on est d'accord?
alors reprends les coordonnées de PQ et PR
Anonyme
Posté le 19 oct. 2011
J'ai donc: PR
Abs = -x / (x-1)
ord = -1 / (z-1)

& Pq =
Abs : -1 + xy / ( x-1-xy+y)
Ord/ -y / (1-y)
Anonyme
Posté le 19 oct. 2011
je rectifie, les tirets prêtent à confusion
PR
Abs = -x / (x-1) ----> préfère x / (1-x)
ord = -1 / (z-1) ----> préfère 1 / (1-z)
c'est toujours + facile de manipuler des positifs

ok
Anonyme
Posté le 19 oct. 2011
PQ
Abs : -1 + xy / ( x-1-xy+y) : tu n'as pas intérêt à développer les dénominateur, ça va se simplifier pour la suite...
pour que l'on ait les mêmes bases :
abs : (1-xy) / (1-y)(1-x)


Ord/ -y / (1-y) ----> même remarque : préfère y / (y-1)
Anonyme
Posté le 19 oct. 2011
ton devoir est pour demain?
Anonyme
Posté le 19 oct. 2011
Il ne reste plus que :

x / (1-x) * -y (1-y) ==> {1}

1 / (1-z) * -1 + xy / (x-1-xy+y) ==> {2}

& si tout va bien, {1} - {2} = 0
Anonyme
Posté le 19 oct. 2011
lis ce que t'ai écrit ci-dessus

Anonyme
Posté le 19 oct. 2011
Ok =>

x / (1-x) * y / (y-1) = xy / (1-x)(y-1)
&
1 / (1-z) * 1 - xz / (x-1-xz+y) = 1 - xy / ( 1-z)(x-1-xz+y)

C'est bon ?!
Anonyme
Posté le 19 oct. 2011
euh...
si tu ne veux pas te tromper pose :
x/x' = y/y'
x, y, x', y' étant les coordonnées respectives de PQ et PR

puis fais le produit en croix
donc x*y' = x' * y
tu arrives facile à xyz =1

mais je répète : pour l'absc. de PQ
( x-1-xy+y) : tu n'as pas intérêt à développer le dénominateur!
Anonyme
Posté le 19 oct. 2011
je reviens dans 15-20 mn
puis il me faudra arrêter l'ordi
dis moi si tu y arrives

si j'ai coupé, je regarde demain matin
bonne soirée
a+
Anonyme
Posté le 19 oct. 2011
Entendu.

Je trouve x*y' = -1 + xy / ((1-z)(1-y)(x-1))

et

x'*y = xy / ((y-1)(1-x))

Que dois je faire ensuite ?!
Anonyme
Posté le 19 oct. 2011
Merci encore pour ton aide.
Bonne nuit (car ma soirée a été consacrée a mon DM)
++
Anonyme
Posté le 19 oct. 2011
je regarde
je n'ai pas conduit mes calculs de la même façon...
Anonyme
Posté le 19 oct. 2011
Anonyme
Posté le 19 oct. 2011
tu es presque au bout
simplifie les 2 dénominateurs par (1-y)(x-1)
Anonyme
Posté le 19 oct. 2011
puis produit en croix
puis développe
et tu es arrivé :)
Anonyme
Posté le 20 oct. 2011
Merci beaucoup !!

J'ai trouvé xyz - 1 = 0
=> xyz = 1

Encore merci pour ton aide, qui m'a été fort précieuse =D
Anonyme
Posté le 20 oct. 2011
:)
bonne journée !

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