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Sujet du devoir

Définitions.

Soitn∈N. On appellefonction polynôme de degré n toute fonction f définie sur Rpour laquelle il existe n+1 réels a0,a1,a2, ...an−1,an, avec an6=0, appelés lescoefficients de la fonctionf, tels que pour toutx∈R:f(x)=anxn+an−1xn−1+...,+a2x2+a1x+a0.On appelleracined’une telle fonction tout réelαtel quef(α)=0.

Théorème (admis).Deux fonctions polynômes non nulles sont égales si, et seulement si, elles ont le même degré et les coefficients deleurs termes de même degré sont égaux.

EXERCICE 1.1. Soitn∈Ntel quen>2. On considère la fonction polynômefdéfinie pour tout réelxparf(x)=xn−1+xn−2+...+x2+x+1.

a. Démontrer que pour toutx∈R,x f(x)−f(x)=xn−1.

b. Pour toutx∈Rr{1}, isolerf(x) dans l’égalité précédente.

c. En déduire, pour toutx∈Rr{1}, une factorisation dexn−1.Montrer que cette factorisation est valable pour tout réelx(c’est-à-dire même pourx=1).

2. Soita∈R∗etn∈Ntel que n>2. On considère la fonctiong:x7−→xn−andéfinie sur R.

a. Pour toutx∈R, factoriserg(x) par an.

b. Pour toutx∈R, utiliser alors la formule vue à la question 1.c pour factoriserg(x), puis simplifier la factorisationobtenue en faisant apparaître le facteurx−a.3. Utiliser les formules démontrées dans les questions précédentes pour factoriser les expressions suivantes :a.A=x3−1 pour toutx∈R.b.B=x4−16 pour toutx∈R.c.C=a3−b3pour tous réelsaetb.

4. Démontrer que pour toutn∈N∗, 2020n−1 est divisible par 2019.

EXERCICE 2.

On considère la fonction polynôme du troisième degréf:x7−→ax3+bx2+c x+d définie surR, avec a,b,c et d desréels, e ta6=0. Soit α∈R.

1. Soitx∈R.a. Exprimerf(x)−f(α) en fonction dexetα.

b. En utilisant le résultat de la question 2 de l’exercice 1, démontrer quef(x)−f(α) se factorise parx−α.Indication : mettre en évidence x3−α3et x2−α2dans l’expression f(x)−f(α).

2. On suppose dans cette question queαest une racine def.a. En déduire une factorisation def(x) pour toutx∈R.

b. Que peut-on en déduire concernant le nombre de solutions de l’équationf(x)=0?

3.Application.On considère la fonctiong:x7−→x3−21x−20 définie surR.

a. Démontrer que 5 est une racine de g.

b. Expliquer pourquoi il existe des réels a,b et c tels que pour toutx∈R,g(x)=(x−5)(ax2+bx+c)

.c. Soitx∈R. Développer l’expression (x−5)(ax2+bx+c).

d. Utiliser le théorème énoncé en début de devoir pour déterminer les valeurs dea,betc.e. Résoudre l’équationg(x)=0

Où j'en suis dans mon devoir

je n'arrive pas dès la premiere question