démontrer des identités de trigonométrie : sin(a+b)sin(a-b)=...

Publié le 25 janv. 2010 il y a 9A par Vanille29 - Fin › 30 janv. 2010 dans 9A
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Sujet du devoir

Démonter les identités suivantes en justifiant :
1) sin(a+b)sin(a-b)=sin²(a)-sin²(b)=cos²(b)-cos²(a)
2) cos(a+b)sin(a-b)=sin(a)cos(a)-sin(b)cos(b)
3 sin(a+b)cos(a-b)=sin(a)cos(a)+sin(b)cos(b)
Merci de votre aide.

Où j'en suis dans mon devoir

1) D'après les formules d'addition :
sin(a+b)sin(a-b)= [cos(a)sin(b)+sin(a)cos(b)][cos(a)sin(b)-sin(a)cos(b)]
= cos²(a)sin²(b)-[sin²(a)cos²(b)]
Or d'après la formules fondamentale : cos²(x)=1-sin²(x)
On obtient donc :
[(1-sin²(a))sin(b)][sin²(a)(1-sin²(b))]
=sin²(b)-sin²(a)
J'obtiens donc un mauvais résultat car il fallait montrer que c'était égal à sin²(a)-sin²(b). De même pour la deuxième partie de cette égalité.

Pour les questions 2) et 3)j'ai essayé avec cette même méthode : les formules d'addition et la formule fondamentale mais je n'arrive pas du tout au résultat voulu...



4 commentaires pour ce devoir


jeremy72
jeremy72
Posté le 25 janv. 2010
alors voici comment s'y prendre:
sin(a+b)sin(a-b)=(sin(a)cos(b)+sin(b)cos(a))(sin(a)cos(b)-sin(b)cos(a))
=sin^2(a)cos^2(b)-sin^2(b)cos^2(a) d'après l'identité (a+b)(a-b)=a^2-b^2
or cos^2(b)=1-sin^2(b) et cos^2(a)=1-sin^2(a)

sin^2(a)cos^2(b)-sin^2(b)cos^2(a)=sin^2(a)-sin^2(a)sin^2(b)-sin^2(b)+sin^2(b)sin^2(a)
=sin^2(a)-sin^2(b) cqfd.

pour le resultat:sin(a+b)sin(a-b)=cos²(b)-cos²(a) tu raisonnes pareillement mais en remplacant cette fois sin^2(a) par 1-cos^2(a) et sin^2(b) par 1-cos^2(b).

question2:

cos(a+b)sin(a-b)=(cos(a)cos(b)-sin(a)sin(b))(sin(a)cos(b)-sin(b)cos(a))
=cos(a)sin(a)cos^2(b)-sin(b)cos(b)sin^2(a)-cos(b)sin(b)cos^2(a)+cos(a)sin(a)sin^2(b)

tu factorises ensuite les cos(a)sin(a) et les cos(b)sin(b):

cos(a+b)sin(a-b)=cos(a)sin(a)(cos^2(b)+sin^2(b))-cos(b)sin(b)(cos^2(a)+sin^2(a))
avec cos^2(b)+sin^2(b)=cos^2(a)+sin^2(a)=1

on a donc pour finir:
cos(a+b)sin(a-b)=cos(a)sin(a)-cos(b)sin(b) cqfd.

question3:
meme raisonnement que la question deux, développes entièrement et factorises ensuite pour faire apparaitre cos(x)+sin(x)=1.
n'hésites pas si tu à des questions!

Vanille29
Vanille29
Posté le 26 janv. 2010
Bonjour, tout d'abord, merci beaucoup pour ton aide !
J'ai compris mon erreur pour la première question 1.
Je comprends le raisonnement à utiliser pour les questions 2 et 3 mais j'ai un petit problème :
je ne compernds pas comment on passe de
(cos(a)cos(b)-sin(a)sin(b))(sin(a)cos(b)-sin(b)cos(a)) à :

=cos(a)sin(a)cos^2(b)-sin(b)cos(b)sin^2(a)-cos(b)sin(b)cos^2(a)+cos(a)sin(a)sin^2(b)

Alorsje sais que ca doit etre une simple question de calcul mais je ne vois pas... Merci.
jeremy72
jeremy72
Posté le 27 janv. 2010
il te suffit de développer: (a-b)(c-d)=ac-bc-ad+cd
j'espère que ça va t'aider!!!
Vanille29
Vanille29
Posté le 29 janv. 2010
Ah ça y est j'ai tout compris !
Merci beaucoup pour ces explications très claires !

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