Devoir maison math pour 9 mars

Sujet du devoir

On considère la fonction f définie sur R par f(x) = x^3 − 4x^2 + x + 5.

1. Déterminer la fonction dérivée de f.

2. Déterminer l’équation de la tangente à la courbe Cf au point d’abscisse a = 3 et montrer que le point

B(4; 3) appartient à cette tangente.

3. Plus généralement, déterminer l’équation de la tangente à la courbe Cf au point d’abscisse a ∈ R et

montrer que

B ∈ Ta ⇐⇒ a^3 − 8a^2 + 16a − 3 = 0 (E)

4. Justifier sans calcul que x = 3 est une solution de l’équation (E).

5. Déterminer alors les valeurs de α, β, γ tels que, pour tous a ∈ R, a^3 −8a^2 +16a−3 = (x−3)(αx^2 +βx+γ).

Pour information : "γ" se lit "gamma".

6. En déduire toutes les solutions de l’équation (E).

7. Combien de tangentes à Cf passent par B?

EXERCICE 2 [Une condition nécessaire pour l’imparité]

1. Soit f une fonction impaire définie sur R. Montrer que nécessairement f(0) = 0.

Remarque :

Par contraposée, cela signifie que si f est une fonction définie sur R telle que f(0) , 0, alors elle ne peut pas être

impaire !

Attention : avoir f(0) = 0 ne suffit pas à démontrer qu’une fonction est impaire... •

2. Les fonctions suivantes sont-elles impaires ?

(a) f : x 7−→ 1 + (3x^4 − 5x^3 + 3x^2 − 6x + 7) sin(x),

(b) g : x 7−→ 5x^3 − 3 sin(x) cos(x),

(c) h : x 7−→ x^2 + sin(x)