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Sujet du devoir
Bonsoir,
je suis étudiante dans un lycée et j’ai un devoir de maths à faire sauf que je le trouve un peu compliqué, le voici :
soit f(x) = -x + 1 - 1(le tout divisé par)/x+1
1) donner Df (ensemble d’en definition)
2) calculer f’(x) et donner le tableau de variations
3) étudier la position relative par rapport à la droite (d) d’equation y=-x+1
Où j'en suis dans mon devoir
Alors j’ai trouvé Df qui est : ]-infini;-1[u]-1;+infini[
puis j’ai du mal à calculer sa dérivé, si quelqu’un arriverait à le trouver pour moi, je vous en serait reconnaissante, merci ^^
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2) f'(x)=(-1+x)'-(1/(x+1))'=1-(-(x+1)'/(x+1)^2)=1+(x+1)'/(x+1)^2
comme le carré est toujours positif alors 1/(x+1)^2 est strictement positif pour tout x élèment de Df.
alors 1+1/(x+1)^2 est strictement croissante sur ]-infini,-1[ et strictement croissante sur ]-1,+infini[ (Remarquez que f'(x) ne s'annule jamais).
Limites:
lim(-1+x)=+infini quand x tend vers +infini et sachant que lim (x+1) tend vers + infini quand x tend vers + infini déterminer lim 1/(x+1) quand x tend vers + infini et déduire lim f(x) quand x tend vers + infini.
lim(-1+x)=-infini quand x tend vers -infini et sachant que lim (x+1) tend vers - infini quand x tend vers infini déterminer1/(x+1) quand x tend vers - infini et déduire lim f(x) quand x tend vers - infini.
sachant que x+1 prend des valeurs positifs à droite de -1 calculer lim(x+1) à droite de (-1) et déduire lim -1/(x+1) quand x tend vers (-1)+ et déterminer aisément lim f(x) quand x tend vers (-1)+
sachant que x+1 prend des valeurs négatifs à gauche de -1 calculer lim(x+1) à gauche de (-1) et déduire lim -1/(x+1) quand x tend vers (-1)- et déterminer aisément lim f(x) quand x tend vers (-1)-
3) pour déterminer la position relative par rapport à la droite (d) d'équation y=-x+1 il suffit de calculer la différence f(x) - y et déterminer son signe.
f(x)-y=-1+x-1/(x+1)-(-x+1) , faites le calcul, réduire au même dénominateur et dresser un tableau des signes du numérateur et du dénominateur obtenus.
les valeurs qui l'annulent sont les points de recontre de (d) et la courbe.
les intervalles où il est positif la courbe est au dessus de (d).
les intervalles où il est négatif la courbe est au dessous de (d)
Bon courage.
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Procédons étape par étape. Tu as f(x)=-x+1-[1/x+1] (je mets les fractions entre crochets)
Tu commences donc par dériver -x+1. Quelles sont les dérivées de -x et 1?
Ensuite, la fraction. Tu as dû voir que pour dériver l'inverse d'une fonction, soit par exemple [1/g(x)] tu dois faire [-g'(x)/(g(x))²]
Dans notre cas, quelle est la dérivée de (x+1)? Tu n'as plus qu'à prendre l'opposé, et à la diviser par (x+1)² (je te conseille de garder cette forme, c'est plus pratique dans le cas d'une étude de signe).
D’accord ducoup j’arrive à trouver a la fin :
f’(x) = (fraction) -x(carré)-2x/(x+1)(carré)
c’est bien ça ? Et si c’est bon f’(x) sera négatif (-/+ = -)
Oui, c'est la bonne réponse. Pour ce qui est du signe, ce sera le même que -x²-2x, si jamais tu dois l'étudier (vu que -x²-2x n'est pas toujours négatif)
Puis ensuite, j’ai oublié de m’en preciser mais pour le tableau de variations, je vais devoir donner la « limite » de la fonction, tu saurais comment je peux le déterminer ?