devoir sur les fonctions et les variations

Sujet du devoir

Bonjour, avant de démarrer la production en série, un constructeur aéronautique a fabriqué 3 appareils de présérie, qui pourrait être vendus, pour un coût d'étude et de fabrication total de 9 milliards d'€. Il lance alors la fabrication en série, chaque nouvel appareil revient à 0.3 milliards d'€. On note x le nombre d'appareils de série fabriqués et f(x) le coût d'un appareil pour x appareils de série fabriqués.
1. Expliquez pourquoi f(x)=(0,3x+9)/(x+3) pour x> ou égal 0
2. montrez que

déduisez en la limite de f(x) en +infini
interprétez en termes économique cette limite.
3. Étudiez les variations de la fonction f sur ]0;+infini[ et tracez sa courbe représentative dans un repère (o; vecteur i et j) (unités choisi en abscisse 1cm pour 5 appareils, en ordonnée 1cm pour 0.5 milliards d'€)
4. Déterminez graphiquement à partir de quel nombre d'appareils de série fabriqués, le coût moyen d'un appareil sera inférieur à 0.5 milliards d'€.

Où j'en suis dans mon devoir

Le coût par appareil c'est le coût total divisé par le nombre x, auquel on ajoute les 3 préséries "vendables" ; le coût total est 9+0,3x donc f(x)=(9+0,3x)/(x+3)

pour transformer cette expression on réécrit son numérateur :
9+0,3x=0,3(x+3)-0,9+9= 0,3(x+3)+8.1 ainsi on obtient l'expression du 2

lorsque x augmente indéfiniment x+3 aussi et son inverse tend vers 0 donc lim(f(x))=0.3 lorsque x->+inf
(si on vend assez chaque avion revient à 3 millions, pas plus)

la dérivée de f est -8.1/(x+3)² donc elle est toujours <0
et f est décroissante.