Dichotomie

Sujet du devoir

On considère la fonction f(x)=x^3*3x²-1 définie sur R
L'objet de cet exercice est de chercher a résoudre l'équation f(x) = O

1) Etudier les variations de la fonction f sur [ 0 ; 1 ] et construire son tableau de variation sur cet intervalle
2) Construire la représentation graphique de la fonction sur l'intervalle [ 0 ;1 ] f(x)=0
3) Démontrer que l'équation f(x)=0 possède une unique solution dans l'intervalle [ 0 ; 1 ]

La question précedente prmet d'affirmer que l'équation f(x) = 0 possède une unique solution dans l'intervalle [ 0;1 ]
A ce stade nous connaissons donc une approximation de la solution à une unité près ?
Pour gagner en précision , on procède par dichotomie en plusieurs étapes , c'est à dire qu'on divise la longueur de l'intervalle par deux à chaque étape jusqu'à obtenir la précision voulue .
Ces différentes étapes permettent de contruire deux suites ( Un ) et ( Vn ) qui vont encadrer la solution cherchée avec une précision arbitraire .

On peut décrire la démarche sous forme algorithmique
On part donc de l'intervalle I0 = [ O; 1 ] et on pose U0 = 0 et V0=1
A l'étape n on dispose de l'intervalle In = [ Un ; Vn ] puis à l'étape n+1 on procède comme suit :

Partager l'intervalle en deux intervalles de même longueur .

Choisir l'intervalle qui contient la solution ( quel indicteur nous permet de choisir l'intervalle ? ) et attribuer des valeurs a Un et Vn .

Evaluer la précision et si necessaire recommencer

Voici les premiers pas :
L'intervalle I0=[O;1] est divisé en deux [ 0 ; 1/2 ]et [ 1/2 ; 1 ]
L'intervalle qui contient la solution est I1 = [ 1/2 ; 1 ] donc on pose U1= 1/2 et V0 = 1
La solution est connue a 1/2 près etc ...

4) Reproduire le tableau et compléter jusqu'à n=5
Intervalle Indice UN VN Précision
[O;1] n=0 UN=0 VN=1 1
[0;1/2] n=1 UN=1/2 VN=1 1/2


5) Quelles conjectures peut on faire sur les deux suites ( UN ) et ( VN ) ?

6) Demontrer par récurrence que pour tout n appartient a N VN - UN = ( 1/2)n

7) Combiens d'étapes sont nécessaires pour connaitre la solution avec une précision inférieure à 10^-3

Où j'en suis dans mon devoir

Les trois premières quesitons sont faites
Cependant je ne comprend pas pour on prend l'intervalle [ 1/2 ; 1 ] et non pas [ O; 1/2 ] car on cherche les solutions pour f(x) = O
Dans ce sens je ne sais pas comment remplir la suite du tableau .

Ensuite je ne sais pas ce qu'on entend par conjecture d'une suite ?

Pour le raisonnement par récurrence je pense y arriver si j'ai compris les questions précédentes , idem pour la dernière question

Merci d'avance .