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Sujet du devoir
U est la suite définie pour tout entier n [supérieur ou égale à 1] par :Un = ((n(n+1)):2)²(au carrée)
V est la suite définie par V1=1 et la relation de récurrence
Vn = V indice(n-1)+ n³(au cube) pour tou entier n supérieur ou égale à 2.
a. calculer les termes d'indices 1 à 5 des suites U et V.
b. démontrer que la suite U vérifie la relation de récurrence
Un = U(indice n-1) + n³(au cube) pour tout entier n(supérieur ou égale à 2).
c. on admet alors que les suites U et V sont égales . en déduire que pour tout entier n(supérieur ou égale à 1),
(1 + 2 +....+n)² = 1³ + 2³ + ...+ n³( au cube).
Où j'en suis dans mon devoir
alors , j'ai fait la question a.et pour la suite U j'ai trouvé:
U1 = 1² =1
U2 = 3² = 9
U3 =6² = 36
U4 = 10²=100
U5= 15² =225.
mais mais pour la b et la c je n'y arrive pas . s'il vous plaît . aidez moi! je vous serez extrêmement reconnaissante.
2 commentaires pour ce devoir
merci beaucoup ! ça m'a vraiment sauvé. merci!
Ils ont besoin d'aide !
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a)Je suis d'accord avec tes calculs pour U. Et pour V?
V1=1
V2=V1+2^3=9
etc...
b)Il faut trouver un lien entre U_n et U_n+1.
Partons de U_n+1 et faisons apparaître U_n:
U_n+1=((n+1)(n+2)/2)^2 je multiplie haut et bas par n dans la fraction:
U_n+1=(n(n+1)(n+2)/2)^2=(n(n+1)/2)^2*((n+2)/n)^2
J'ai fais apparaître ce que je voulais!
Donc j'ai :
U_n+1=U_n*((n+2)/n)^2
Or (n+2)/n=1+2/n donc:
U_n+1=U_n*(1+2/n)^2
Je développe
U_n+1=U_n+4U_n/n+4U_n/n^2
Maintenant que j'ai U_n+1=U_n+quelquechose , je vais montrer que quelquechose=(n+1)^3. Donc remplaces par l'expression de U_n et tout se simplifie!
Je tiens à préciser qu'il y avait beaucoup plus court pour répondre à cette question mais j'ai voulu te montrer comment tu peux avancer dans le calcul "bêtement" sans te poser de questions.
c)Sachant que U_n=V_n la relation de V_n je peux l'écrire comme U_n=U_n-1+n^3
Maintenant je somme de n=2 à N:
somme(U_n,n,2,N)=somme(U_n-1,n,2,N)+somme(n^3,n,2,N)
Donc tout se simplifie dans la somme, il ne reste que le premier et le dernier terme: (tous les autres termes sont à la droite et à la gauche du signe égal, je peux les simplifier)
U_N=U_1+somme(n^3,2,N) mais U_1=1 je peux l'écrire comme 1^3 et donc en fait:
U_N=somme(n^3,1,N)
Or regarde bien U_n, par définition c'est (1+2+...+n)^2. (Ressort la formule de la somme des termes d'une suite arithmétique de raison 1!
Bon courage