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Sujet du devoir
U est la suite définie pour tout entier n [supérieur ou égale à 1] par :Un = ((n(n+1)):2)²(au carrée)
V est la suite définie par V1=1 et la relation de récurrence
Vn = V indice(n-1)+ n³(au cube) pour tou entier n supérieur ou égale à 2.
a. calculer les termes d'indices 1 à 5 des suites U et V.
b. démontrer que la suite U vérifie la relation de récurrence
Un = U(indice n-1) + n³(au cube) pour tout entier n(supérieur ou égale à 2).
c. on admet alors que les suites U et V sont égales . en déduire que pour tout entier n(supérieur ou égale à 1),
(1 + 2 +....+n)² = 1³ + 2³ + ...+ n³( au cube).
Où j'en suis dans mon devoir
alors , j'ai fait la question a.et pour la suite U j'ai trouvé:
U1 = 1² =1
U2 = 3² = 9
U3 =6² = 36
U4 = 10²=100
U5= 15² =225.
j'ai fait de même pou V
mais mais pour la b et la c je n'y arrive pas . s'il vous plaît . aidez moi! je vous serez extrêmement reconnaissantes.
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V1=1
V2=V1+1^3=2
V3=V2+2^3=2+8=10
V4=V3+3^3=10+27=37
V5=V4+4^3=37+64=101
b)
Tu calcules Un-Un-1
Pour tout n>=2,
Un-Un-1 = [n(n+1)/2]²-[(n-1)n/2]²
=1/4[n²(n+1)²-(n-1)²n²]
=1/4n²[(n+1)²-(n-1)²]
=1/4n²[n²+2n+1-(n²-2n+1)]
=1/4n²x4n
=n^3
conclue...
c)
Un=Un-1 + n^3
Un-1 = Un-2 + (n-1)^3
.........
U2= U1 + 2^3
tu additionnes membre à membre ces équations:
il reste en simplifiant :
Un=U1 + 2^3+.....+(n-1)^3+n^3
donc puisque U1=1=1^3
Un=1^3 + 2^3 + ......+ n^3
Or par hypothèse : Un= ([n(n+1)]/2)²
Soit (wn) la suite de premier terme w1=1
de nième terme wn=n.
(wn) est une suite arithmétique
donc
1+2+....n = n(n+1)/2
Finalement:
(1+2+....n)²=1^3 + 2^3 +...+n^3
voilà....
courage