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Sujet du devoir

Exo 1 : Le maire de Libreville, commune en pleine croissance, doit projeter la construction de différentes infrastructures. Après une étude sur les années passées, il a été estimé que la population de la commune augmente de 350 habitants par an.

1/ Sachant qu'en 2015, la population de la commune était de 17 550 habs, calculer le nombre d'habs en 2016,2017,2018.

2/ On note (Un) la suite représentant le nbr d'habs à Libreville l'année 2015+ n avec n E N.

En exprimant Un+1 en fonction de Un, déterminer si les pops calculées forment une suite arithmétique ou géométrique dont on précisera le premier terme et la raison.

3/En déduire l'expression de Un en fonction de n.

4/ Le maire sait qu'il devra prévoir l'ouverture d'une école supplémentaire lorsque la pop atteindra 19500 habs. En résolvant l'inéquation Un >_ 22 500, déterminer en quelle année cette école devra être ouverte.

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Exo 2: Une start-up s'installe avec un budget initial la première année de 125000€. Les deux entrepreneurs prévoient dans leur plan de développement, une augmentation annuelle du budget de 6%.

1/ Calculer le budget prévu la 2ème année, la 3ème et la 4 ème année.

2/ On note (Bn) la suite représentant le budget de la start-up. Exprimer Bn+1, le budget de l'année n+1, en fonction de Bn, le budget l'année n, avec n E N.

3/ En déduire la nature de la suite Bn en fonction de n.

4/ Donner l'expression de Bn en fonction de n.

5/ Calculer le budget de la start-up la 12ème et la 13ème année ( Arrondier à 10-2 en puissance)

6/ Les entrepreneurs estiment qu'une fois leur budget doublé, ils pourront embaucher de nvx salariés. Quelle année ces embauches devraient-elles avoir lieu ? (justifier)

.......................

Exo 3: Votre employeur vous donne le choix entre deux propositions de rémunération : 1re : salaire mensuel brut de 1200€ la 1re année puis augmentation de 40€ du salaire mensuel ts les ans, au 1er janvier.

2ème propo: salaire mensuel brut de 1000€ la 1re année puis augmentation de 5% du salaire mensuel brut tous les ans, au 1er janvier.

On se propose d'étudier quelle est la proposition la plus intéressante pour vous. On note:

Un le salaire mensuel brut de la n-ème année pr la 1re propo;

Vn le salaire mensuel brut de la n-ième année pour la 2ème propo.

1/ Calculer U2, U3,U4 et V2,V3 et V4.

2/ Donner la nature, le 1er terme et la raison de chacune des suites (Un) et (Vn). Justifier.

3/ Exprimer Un et Vn en fonction de n

4/ Calculer pr les 2 propos le salaire mensuel brut pr la 10 ème et 11 ème année.

5/ A partir de quelle année la 2ème propo est-elle + intéressante? Justifier.

6/ Calculer la somme des salaires bruts perçus après 11 années de travail pr chacune des 2 propositions.

Voilà tout, merci d'avance.

Où j'en suis dans mon devoir

Donc pour ce premier exo, j'ai répondu à toutes les questions, mais j'aimerais savoir si c'est juste et bien rédigé surtout:

1/ Pop en 2016 : U1= Un+1=Un+r=17 550+ 350=17 900

Pop en 2017 : U2= Un1+r= 17900+350= 18 250

Pop en 2018: U3= Un2+r= 18250+350= 18 600

2/ [U0+r U1+r U2+r], Un+1=Un+r= Un +350 donc les pops calculées forment une suite arithmétique de 1er terme: U0= 17 550 et de raison r=350.

3/ Un en fonction de n : Un= U0+n*r = 17 550+n*350.

4/On cherche n tel que: Un >_22 500 : 17500+n*350>_22500

n*350>_22500-17500

n>_22500-17500/350

n>_14.3 donc cette école devra être ouverte en 2029 :

Pour n= 14, U14= 17550+n*350 = 17550+14*350=22450?

ou avec U6 avec un résultat de 19650 donc l'année d'ouverture serait en 2021?

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Pour le Deuxième exo, voici mes réponses (pareil j'ai répondu à tout mais je demande une correction s'il-vous-plaît):

1/ U2= U1*(1+6/100)= 125000 * 1.06=132500€. (2ème année)

U3= U2* (1+6/100)= 132500*1.06=140450€. (3ème année)

U4= U3* (1+6/100)= 140450*1.06= 148877€. (4ème année)

2/ Bn= suite budget start-up : Bn+1= Bn*q= 125 000*1 

Bn= B0*Qn= 125000 *1 ?

3/ U4 = 148877, U2= U1 * 1.06, U3=U2*1.06

U3*1.06= 148877=U4 Donc la suite (Bn) est une suite géométrique.

4/ Bn en fonction de n: Bn= B0*Qn = 125 000 * 1.06n.

5/ B12= B0*Qn = 125 000* 1.06^11 B12= 237287.32€

B13= B1*Q= 125000*1.06^12 B13= 251524.56€

6/ 125000*2=250000€ , Bn = B0 *Qn B13= 125000*1.06^12, B13= 251524.56€ Ce serait la 13 ème année ?

.......

Exo 3: (pareil j'ai tout fait, plus qu'à me corriger s-v-p :D)!!

1/ U2= U1+r= 1200+40=1240

U3= U2+r= 1240+40= 1280

U4= U3+r = 1280+40=1320.

V2= V1*(1+5/100)= 1050

V3= V2* (1+5/100)= 1102.5

V4= V3*(1+5/100)=1157.63

2/ Un+1= Un +40 donc suite Un est une suite arithmétique de 1 er terme: U0= 1200 et de raison r = 40.

V4= 1157.63, V2= V1*1.05, V3= V2 *1.05,  V3= V2*1.05=V4 Donc la suite (Vn) est une suité géométrique de 1 er terme: V0= 1000 et de raison q= 1.05.

3/ Un en fonction de n : Un = U0+n*r = 1200+n*40

V n en fonction de n: Vn= V0*Qn = 1000*1.05n.

4/ U10 = 1200+10*40=1600, U11= 1200+11*40=1640, V10= 1000*1.05^9=1551.3, V11= 1000*1.05^10=1628.9.

5/ U12 = 1200+12*40=1680€ , V12= 1000*1.05^11=1710.4. A partir de la 12 ème année car:... (je ne sais pas..)?

6/ S10= V0 * (1-1.05^11)/1-1.05= 1000* (1-1.05^11)/1-1.05= 14506.8€

S10= U0+U1+U2+U3+U4+U5+U6+U7+U8+U9+U10 = 11* (1200+1600)/2= 15 400€.