DM Maths sur les Dérivées (approximations affines)

Sujet du devoir

Le polonium 218 est un produit de la désintégration de l'uranium 238. Cette substance émet des rayons a. Elle se désintègre elle-même, de sorte que le nombre de noyaux désintégrés pendant un intervalle de temps est proportionnelles à l'intervalle de temps et au nombres de noyau N(t) présent à l'instant t.
Ce qui donne : N'(t) = -kN(t).
On note N(0) le nombre de noyaux à l'instant initial t = 0.
On sait que pour le polonium 218, k = 0.0037 ( avec t en seconde) et on a dans un échantillon N(0)=2x10^23

Objectif: On souhaite, grâce à la méthode d'Euler (approximation affine), donner une estimation du nombre de noyaux dans l'échantillon au bout de 100s puis de 200s et enfin estimer la demi-vie du polonium 218.

1.Rappeler la formule permettant d'expromer f(a+h) en fonction de f(a) grâce aux approximations affines.
2.En utilisant cette formule, montrer que pour tout t> = 0 assez petit, on a : N(t+h) environ= (1-0.0037h)N(t).
3.On prend dans premier temps un pas h=10s
Donnée une valeur approchée de N(10)

Où j'en suis dans mon devoir

J'ai ceci : f(a+h) ~ f(a) + h f ' (a)
je pense que cela peut aider c'est la formule pour l'approximation affine mais je c pas comment m'en servir