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Sujet du devoir
Bonjour/soir à toutes et à tous, voici le devoir et ce que j'ai fait jusqu'ici, merci de vous attarder là-dessus, cela fait quelques heures que j'essaie, en vain (ou presque) :
On considère la suite (Wn) définie, pour tout entier n, par :
W0 = -1; W1 = 0.5 et pour tout entier n, Wn+2 = Wn+1 -1/4wn.
1. Vérifier que (Wn) n'est ni arithmétique ni géométrique.
2. On définit la suite (Un) en posant, pour tout entier n, Un = Wn+1 - 0.5Wn.
a) Calculer U0.
b) Exprimer Un+1 en fonction de Un et en déduire la nature de (Un).
c) Exprimer alors Un en fonction de n.
3. On définit la suite (Vn) en posant, pour tout entier, Vn = Wn/Un
a) Calculer V0.
b) En utilisant l'égalité Wn+1 = Un + 0.5Wn, exprimer Vn+1 en fonction de Un et Wn.
c) En déduire la nature de (Vn) puis une expression de Vn en fonction de n.
4. Conclure en exprimant alors Wn en fonction de n.
Où j'en suis dans mon devoir
Pour la 1.
J'ai prouvé d'abord que (Wn) n'est pas géométrique avec W1/W0 ≠ W2/W1, soit 0.5/(-1) ≠ 0.75/0.5 donc Wn n'est pas géométrique.
Ensuite j'ai prouvé que (Wn) n'est pas arithmétique avec W1-W0 ≠ W2-W1, soit 0.5-(-1) ≠ 0.75-0.5 donc Wn n'est pas arithmétique.
Pour la 2.
a) J'ai U0 = 1
b) Je bloque ici et je n'ai pas encore regardé le reste. Je pense qu'il faut trouver Un dans le membre de droite dans Un+1 = Wn+2 -0.5Wn+1 mais je ne vois pas. J'ai tenté de développer Wn+2 dans cette égalité ce qui nous donne : Un+1 = Wn+1 -1/4Wn -0.5Wn+1. J'ai beau regarder à droite, à gauche, je ne vois pas Un là-dedans (je rappelle Un = Wn+1 -0.5Wn)
Merci par avance de votre aide, à bientôt je l'espère.
4 commentaires pour ce devoir
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2b) Tu y es presque :
Un+1=Wn+1 -1/4Wn -0.5Wn+1 = 0.5Wn+1 - 1/4Wn
Et là, tu te rends compte que 0.5Wn+1 - 1/4Wn = 1/2(Wn+1 - 0.5Wn) = 1/2Un
Donc quelle est la nature de (Un)?
Merci pour votre réponse rapide et efficace !
Avec Un+1 = 1/2Un on voit que c'est la forme d'une suite géométrique. Donc (Un) est une suite géométrique de raison q=1/2 et de premier terme U0=1.
c. Nous avons la formule Un = U0 * q^n
Un = (1/2)^n.
Pour la 3) a. j'ai V0 = 1.
En revanche, je n'arrive pas à la 3) b. Devrais-je créer un autre topic ? Modifier celui-ci, ou bien continuer ici sans modifications (car l'exercice est bientôt terminé je pense). Je marque tout de même ce que j'ai pu commencer : Vn+1 = Wn+1/Un+1
= Un +0.5Wn/Un+1.
J'ai tenté de remplacer Un au numérateur mais ça nous fait tourner juste en rond. En remplaçant le dénominateur par différentes valeurs de Un+1 (par exemple 1/2Un; 0.5Wn+1 -1/4Wn...) ça me donne quelque chose mais je ne vois pas de transformation possible pour arriver, dans le membre de droite, d'abord à Un, puis à Wn..
Non, pas besoin de recréer un topic.
J'ai mis un peu de temps à trouver la solution, mais en voici le début :
Comme tu l'as trouvé, Vn+1 = (Un + 0.5Wn)/Un+1 = (Un + 0.5Wn)/0.5Un (vu que Un est géométrique). Maintenant, essaie de factoriser le numérateur par Un pour simplifier (tu peux le faire car Un=/=0). Et n'oublie pas, diviser par 0.5 c'est comme multiplier par 2
Si diviser par 0.5 revient à multiplier par 2, donc Vn+1 = (Un +0.5Wn)/0.5Un
Vn+1 = (Un +0.5Wn) * 2Un ?
Comment factoriser le numérateur par Un, je ne vois pas de Un dans la deuxième partie du numérateur (0.5Wn) ?