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Sujet du devoir
Soit un réel qui appartient à (0 ; Pi ).
On note M le point du cercle C associé à x, et H le pied de la hauteur issue de O dans le triangle OIM.
1)
a-Donner les coordonnées des points I et M.
b-En déduire la distance IM en fonction de x.
2) Démontrer que MH = sin (x/2)
3) En déduire l'expression de sin (x/2) en fonction de cos X.
4)Démontrer que cos(x/2) = racine carré((1+cosx)/2)
Où j'en suis dans mon devoir
Bonjour,
j'aurai besoin d'aide sur les questions 3 et 4.
Merci
5 commentaires pour ce devoir
Le point I a donc pour coordonnées (1;0)?
Oui
3)Le triangle OMI est isocèle en O, donc la hauteur fait aussi bissectrice et médiatrice.
Donc MH=1/2*MI
D'après 2) MI=racine(2)*racine(1-cos(x))
Dans le triangle rectangle HMO, l'angle O a pour mesure x/2, donc on a sin(x/2)=MH/OM,
or OM=1, et MH=(racine(2)*racine(1-cos(x))/2, d'où sin(x/2)=(racine(2)*racine(1-cos(x))/2
En utilisant l'expression précédente de sin(x/2), on a:
racine(1-cos(x))=(2/racine(2))*sin(x/2)
On passe au carré:
1-cos(x)=sin²(x/2)*2
D'où cos(x)=1-2sin²(x/2)
4)D'autre part, dans le même triangle rectangle OHM, on a cos(x/2)=OH/OM, OM=1, donc cos(x/2)=OH
Dans ce même triangle, avec Pythagore, OH²=OM²-MH²
D'après 2), MH²=sin²(x/2), donc OH²=1-sin²(x/2)=cos²(x/2)
D'après l'égalité de 3): cos(x)=1-2sin²(x/2)
On a que 2sin²(x/2)=1-cos(x)
D'où sin²(x/2)=(1-cos(x))/2
On remplace dans l'expression de OH²
OH²=1-sin²(x/2)=1-(1-cos(x)/2)
OH²=(2-1+cos(x))/2
OH²=(1+cos(x))/2
Donc cos²(x/2)=(1+cos(x))/2 car OH²=cos²(x/2)
Et enfin cos(x/2)=racine((1+cos(x))/2)
Ils ont besoin d'aide !
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Il n'y a pas d'informations sur le point I?
Bonjour,
Le plan étant muni d'un repère orthonormé direct ( 0; I; J ), on note C le cercle trigonométrique.
I est un point sur le cercle trigonométrique. Je n'arrive pas à mettre la photo de la figure car elle est trop grosse.