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Sujet du devoir
Bonjour.j'ai beaucoup de problème avec le produits scalaire si quelqu'un pouvait me venir en aide je lui en serait grandement reconnaissant.
Exercice 1:
Soit A(-1;3), B(1;4) C(3;-2)
1)a)Déterminer une équation de la hauteur issue de A du triangle ABC.
b)Trouver les coordonnées de l'orthocentre H du triangle ABC.
2)a)Déterminer une équation de la médiatrice de [BC].
b)Trouver les coordonnées de O, centre du cercle circonscrit à ABC.
3)Trouver les coordonnées du centre de gravité G de ABC.
4)Vérifier que H,O et G sont alignés. Situer G par rapport a O et H.
Exercice 2:
Soit ABCD un carré de coté "alpha"(désolé je ne sait pas faire la lettre).On note I,J et M les milieux des segments [AB],[AD] et [AI] puis H le projeté orthogonal de A sur la droite (DI).on se propose de démontrer, de trois façon différentes, que (JH) et (HM) sont perpendiculaires.
1)Calculer les longueurs HM,HJ et MJ en fonction de "alpha". Conclure.
2)a)Montrer que vecteurHA + vecteurHI= 2 vecteurHM et que vecteurHA + vecteur HD = 2 vecteurHJ
b)En déduire que 4 vecteurHM .(scalaire) vecteur HJ =HA² + vecteurHI . vecteurHD
c)Démontrer que vecteurAI . vecteurAD = AH² + vecteurHI . vecteurHD.
d)Conclure.
3)On considère le repère orthonormal (A; vecteurAB ; vecteurAD).
a)Déterminer une équation de la droite (DI) et de la droite (AH).
b)En déduire les coordonnées de H et conclure.
Où j'en suis dans mon devoir
Et bien je n'arrive a rien toute mes tentatives se sont soldée par un echec ou alors par des résultats incohérents voila pourquoi j'ai grand besoin de votre aide merci d'avance.4 commentaires pour ce devoir
Merci beaucoup cela ma permis de comprendre pas mal de chose cependant pour la question 1)b) je pense m'être trompé car le résultat ne me semble pas cohérent : (xh=1.5 et yh 2.5) problème similaire avec la 4) je pense que je me suis trompé au niveau des coefficients directeurs
et pour la question 2)b) malgré tes bonnes indication je ne comprend pas bien comment faire.
Encore merci pour ton aide :)
et pour la question 2)b) malgré tes bonnes indication je ne comprend pas bien comment faire.
Encore merci pour ton aide :)
Ces exercices sont longs à faire car il y a beaucoup
de calculs.
Je vais beaucoup t'aider
Tout est sous controle.
Exercice 1 :
1a)
hauteur issue de A
Soit M(x,y) un point de cette hauteur :
vect(AM).vec(BC)=0
vec(AM)=(x+1,y-3)
vec(BC)(2,-6)
donne
2(x+1)-6(y-3)=0 (formule du cours)
en arrangeant :
y=(x+10)/3 (équation de la hauteur issue du point A)
b)
l'orthocentre est l'intersection des hauteurs
du triangle.
J'ai donc déterminer la hauteur issue de B
même processus que la A)
vec(BM).vec(AC)=0
donne
4(x-1)-5(y-4)=0
en arrangeant :
y=(16+4x)/5
Les coordonnées du point H(X(H),Y(H)) sont donc:
(16+4X(H))/5=(X(H)+10)/3
donne
X(H)=2/7
puis
Y(H)=24/7
2a)
Appelons I le milieu de [BC]
I(2;1)
M appartient à la médiatrice de [BC]
veut dire :
vec(IM).vec(BC)=0
donne
2(x-2)-6(y-1)=0
en arrangeant :
y=(x+1)/3
2b)
Le centre du cercle circonscrit au triangle
est l'intersection des médiatrices des côtés.
J'ai donc déterminer la médiatrice de [AC]
même processus que la 2a)
vec(JM).vec(AC)=0 (avec J milieu de [AC] et J(1;1/2))
donne
4(x-1)-5(y-1/2)=0
en arrangeant :
y=(4x/5)-3/10
Les coordonnées du point O(X(O),Y(O)) sont donc:
[1+X(O]/3 =(4X(O)/5)-3/10
ce qui donne :
X(O)=19/14
puis
Y(O)=11/14
3)
Coordonnées de G:
x(G)=[x(A)+x(B)+x(C)]/3=1
y(G)=[y(A)+y(B)+y(C)]/3=5/3
4)
Calcule les coordonnées du vecteur OH
vect(OH)=(2/7-19/4;24/7-11/14)
en arrangeant:
vect(OH)=(-15/14 ; 37/14)
calcule les coordonnées du vecteur OG
vect(OG)=(1-19/4 ; 5/3-11/14)
en arrangeant:
vect(OH)=(-5/14 ; 37/42)
d'où vect(OH)=3vect(OG)
conclue...
Exercice 2
1) La méthode 1 est l'utilisation de la réciproque
du th. de Pythagore.
le triangle HIA est rectangle en H
donc HM=MI=alpha/4
le triangle AHD est rectangle en H
donc HJ=DJ=alpha/2
Le triangle AMJ est rectangle en A (angleA=90°)
donc
MJ²=AM²+AJ²
ce qui donne
en arrangeant
MJ=[alpha x rac(5)]/4
Comme MJ²=HJ²+HM², d'après la réciproque
du th. de Pythagore,
le triangle HMJ est rectangle en H
conclue la méthode 1.
2a)La méthode 2 consiste à montrer que :
vect(HM).vect(HJ)=0
vec(HA)+vect(HJ)=vect(HM)+vect(MA)+vect(HM)+vect(MJ)
Or, M est le milieu de [AI]
donc vec(HA)+vec(HJ)=2vect(HM) (1)
Tu fais exectement pareil pour
montrer que
vect(HA)+vect(HD)=2vect(HJ) (2)
b)
Fais le produit scalaire de (1) et de (2)
[vec(HA)+vect(HI)].[vect(HA)+vect(HD)]=4vect(HM).vect(HJ)
tu développes le membre de gauche
HA² + vec(HA).vect(HD)+ vect(HI).vect(HA) + vect(HI).vec(HD)
= 4vect(HM).vect(HJ)
Or (HD) perpend. à (HA)--> vec(HA).vect(HD)=0
(HI) perpend. à (HA)--> vect(HI).vect(HA)=0
conclue...
c)
vec(AI).vect(AD)=[vect(AH)+vect(HI)].[vect(AH)+vec(HD)]
tu développes le membre de droite.
conclue...
d)
Tu sais que :
vec(AI).vect(AD)=AH²+vec(HI).vec(HD) (3)
et
4vec(HM).vec(HJ)=AH²+vec(HI).vect(HD) (4)
Or (AI) perpend. à (AD)--> vec(AI).vec(AD)=0
par différence de (3) et (4) :
0-4vect(HM).vec(HJ)=0
conclue la méthode 2.....
3)
I(alpha/2;0)
D(0,alpha)
soit (DI) d'équation y=ax+b
en remplaçant :
on doit résoudre le système :
0= a x (alpha/2) + b et alpha=b
donc (DI): y=-2x+alpha
Tu sais que (AH) est perpendiculaire à (DI)
de coefficient directeur a'=-1/(-2)=1/2
(AH): y=(1/2)x + b'
Elle passe par A(0;0)
donc b'=0
(AH)=(1/2)x
b)Coordonnées du point H: (X(H);Y(H))
tu résous : 1/2 X(H)=-2 X(H) + alpha
En arrangeant:
X(H)=2 x alpha/5
puis
Y(H)=alpha/5
Tu calcules enfin les coordonnées du vecteur
HM :
vect(HM)=[(alplha/4)-(2alpha/5))]
En arrangeant :
vect(HM)=(-3alpha/20;-alpha/5)
Tu calcules enfin les coordonnées du vecteur
HJ :
vect(HJ)=[0-2alpha/5;(alpha/2)-(alpha/5)]
En arrangeant :
vect(HJ)=(-2alpha/5;2alpha/10)
calcule vec(HM).vec(HJ) !!!
vec(HM).vect(HJ)=(-2alpha/5)(-3alpha/10)+(-alpha/5)x(3alpha/10)
= (6alpha²/100)-(3alpha²/50)
=0
conclue la méthode 3....
voilà
reprends bien tous mes calculs et
courage nemoh....
de calculs.
Je vais beaucoup t'aider
Tout est sous controle.
Exercice 1 :
1a)
hauteur issue de A
Soit M(x,y) un point de cette hauteur :
vect(AM).vec(BC)=0
vec(AM)=(x+1,y-3)
vec(BC)(2,-6)
donne
2(x+1)-6(y-3)=0 (formule du cours)
en arrangeant :
y=(x+10)/3 (équation de la hauteur issue du point A)
b)
l'orthocentre est l'intersection des hauteurs
du triangle.
J'ai donc déterminer la hauteur issue de B
même processus que la A)
vec(BM).vec(AC)=0
donne
4(x-1)-5(y-4)=0
en arrangeant :
y=(16+4x)/5
Les coordonnées du point H(X(H),Y(H)) sont donc:
(16+4X(H))/5=(X(H)+10)/3
donne
X(H)=2/7
puis
Y(H)=24/7
2a)
Appelons I le milieu de [BC]
I(2;1)
M appartient à la médiatrice de [BC]
veut dire :
vec(IM).vec(BC)=0
donne
2(x-2)-6(y-1)=0
en arrangeant :
y=(x+1)/3
2b)
Le centre du cercle circonscrit au triangle
est l'intersection des médiatrices des côtés.
J'ai donc déterminer la médiatrice de [AC]
même processus que la 2a)
vec(JM).vec(AC)=0 (avec J milieu de [AC] et J(1;1/2))
donne
4(x-1)-5(y-1/2)=0
en arrangeant :
y=(4x/5)-3/10
Les coordonnées du point O(X(O),Y(O)) sont donc:
[1+X(O]/3 =(4X(O)/5)-3/10
ce qui donne :
X(O)=19/14
puis
Y(O)=11/14
3)
Coordonnées de G:
x(G)=[x(A)+x(B)+x(C)]/3=1
y(G)=[y(A)+y(B)+y(C)]/3=5/3
4)
Calcule les coordonnées du vecteur OH
vect(OH)=(2/7-19/4;24/7-11/14)
en arrangeant:
vect(OH)=(-15/14 ; 37/14)
calcule les coordonnées du vecteur OG
vect(OG)=(1-19/4 ; 5/3-11/14)
en arrangeant:
vect(OH)=(-5/14 ; 37/42)
d'où vect(OH)=3vect(OG)
conclue...
Exercice 2
1) La méthode 1 est l'utilisation de la réciproque
du th. de Pythagore.
le triangle HIA est rectangle en H
donc HM=MI=alpha/4
le triangle AHD est rectangle en H
donc HJ=DJ=alpha/2
Le triangle AMJ est rectangle en A (angleA=90°)
donc
MJ²=AM²+AJ²
ce qui donne
en arrangeant
MJ=[alpha x rac(5)]/4
Comme MJ²=HJ²+HM², d'après la réciproque
du th. de Pythagore,
le triangle HMJ est rectangle en H
conclue la méthode 1.
2a)La méthode 2 consiste à montrer que :
vect(HM).vect(HJ)=0
vec(HA)+vect(HJ)=vect(HM)+vect(MA)+vect(HM)+vect(MJ)
Or, M est le milieu de [AI]
donc vec(HA)+vec(HJ)=2vect(HM) (1)
Tu fais exectement pareil pour
montrer que
vect(HA)+vect(HD)=2vect(HJ) (2)
b)
Fais le produit scalaire de (1) et de (2)
[vec(HA)+vect(HI)].[vect(HA)+vect(HD)]=4vect(HM).vect(HJ)
tu développes le membre de gauche
HA² + vec(HA).vect(HD)+ vect(HI).vect(HA) + vect(HI).vec(HD)
= 4vect(HM).vect(HJ)
Or (HD) perpend. à (HA)--> vec(HA).vect(HD)=0
(HI) perpend. à (HA)--> vect(HI).vect(HA)=0
conclue...
c)
vec(AI).vect(AD)=[vect(AH)+vect(HI)].[vect(AH)+vec(HD)]
tu développes le membre de droite.
conclue...
d)
Tu sais que :
vec(AI).vect(AD)=AH²+vec(HI).vec(HD) (3)
et
4vec(HM).vec(HJ)=AH²+vec(HI).vect(HD) (4)
Or (AI) perpend. à (AD)--> vec(AI).vec(AD)=0
par différence de (3) et (4) :
0-4vect(HM).vec(HJ)=0
conclue la méthode 2.....
3)
I(alpha/2;0)
D(0,alpha)
soit (DI) d'équation y=ax+b
en remplaçant :
on doit résoudre le système :
0= a x (alpha/2) + b et alpha=b
donc (DI): y=-2x+alpha
Tu sais que (AH) est perpendiculaire à (DI)
de coefficient directeur a'=-1/(-2)=1/2
(AH): y=(1/2)x + b'
Elle passe par A(0;0)
donc b'=0
(AH)=(1/2)x
b)Coordonnées du point H: (X(H);Y(H))
tu résous : 1/2 X(H)=-2 X(H) + alpha
En arrangeant:
X(H)=2 x alpha/5
puis
Y(H)=alpha/5
Tu calcules enfin les coordonnées du vecteur
HM :
vect(HM)=[(alplha/4)-(2alpha/5))]
En arrangeant :
vect(HM)=(-3alpha/20;-alpha/5)
Tu calcules enfin les coordonnées du vecteur
HJ :
vect(HJ)=[0-2alpha/5;(alpha/2)-(alpha/5)]
En arrangeant :
vect(HJ)=(-2alpha/5;2alpha/10)
calcule vec(HM).vec(HJ) !!!
vec(HM).vect(HJ)=(-2alpha/5)(-3alpha/10)+(-alpha/5)x(3alpha/10)
= (6alpha²/100)-(3alpha²/50)
=0
conclue la méthode 3....
voilà
reprends bien tous mes calculs et
courage nemoh....
Je vous remerci tout les 2 car vous m'avez beaucoup aidé et permis de comprendre pas mal de chose.
au plaisir de vous revoir.
a la prochaine.
au plaisir de vous revoir.
a la prochaine.
Ils ont besoin d'aide !
- Aucun devoir trouvé, poste ton devoir maintenant.
Si tu nous présentais tes résultats, même faux, on pourrait te dire ce que tu as mal compris et voir dans quelles diections tu as cherché. Cela serait vraiment bénéfique pour toi mais bon.
Exo 1
Tu ne nous donnes pas l'info ici mais je suppose que le repère est orthonormé? Dans ce cas on peut utiliser la formule du PS avec les coordonnées.
1) Si M appartient à la hauteur isssue de A alors (AM) perpendiculairee à (BC).
Trouvons les coordonnées de ces vecteurs:
Soit M(x,y):
vect(AM)=(x+1;y-3)
vec(BC)=(2;-6)
Ensuite on veut qu'elles soient orthogonales donc PS(AM,BC)=0
d'òù:
PS(AM,BC)=x(AM)x(BC)+y(AM)y(BC)=2(x+1)-6(y-3)=0(par définition)
Tu résous et tu en tires y en fonction de x:
2x-6y-16=0 -->y=x/3-8/3 (attention j'ai peut être fait des erreurs de calcul!)
b)H est défini comme l'intersection de la hauteur et de (BC).
Comme H est sur (BC) il existe un coefficient c tel que:
vec(BH)=c*vec(BC). Soit en coordonnées:
H(xh,yh):
(xh-1;yh-4)=c*(2;-6)=(2c;-6c)
donc xh=2c+1 et yh=4-6c
Ensuite H appartient à la hauteur donc je remplace ses coordonnées dans l'équation de la hauteur:
yh=xh/3-8/3 -->4-6c=2c/3+1/3-8/3 (tu résous en c et ensuite tu replaces c dans xh et yh et hop tu as la réponse!)
2)a) Equation de la médiatrice: Comme elle est orthogonale à (BC) on va utiliser le PS. Il nous faut un point de cette droite: I le mileu de (BC)!
I((xb+xc)/2;(yb+yc)/2)=(2;1)
Ensuite tu appliques EXACTEMENT ce que l'on a fait plus haut. Soit M(x,y). M est sur la mdédiatrice donc PS(IM,BC)=0 et ça te donne une équation qui relie y et x : équation de la droite!
b)Le point O est l'intersection des médiatrices. Tu as déjà une équatio grâce au (a). Maintenant tu peux appliquer le même raisonnement à une autre médiatrice (celle de [AB] par exemple), trouve son équation et tu auras un système de deux équations à deux inconnues: les coordonnées x0 et y0!
3)Centre de gravité est le barycentre de (A;1)(B;1)(C;1) donc si on l'appelle G:
xG=(xA+xB+xC)/3
yG=(yA+yB+yC)/3
4) Tu as les coordonnées de G,H et O. Forme les vecteurs GH et GO (par exemple!) et trouve leurs coordonnées. Ensuite, montre qu'il existe un coefficient c tel que
vec(GH)=c*vec(GO) ce qui signifie que les vecteurs sont colinéaires et donc les points sont alignés!
Désolé je te laisse faire les calculs mais tu as tout pour finir l'exercice 1. En espérant que tu commences à comprendre, et que tu puisses l'appliquer à l'exo 2.