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Sujet du devoir
Bonjour, voici mon exercice (il fait parti d'un DM)1) Déterminer le polynôme P de degré 3 tel que pour tout réel x, P(x+1)-P(x)=x² et P(1)=0.
2) Démontrer que pour tout réel n supérieur à 1, 1²+2²+ ... +n²=P(n+1).
3) En déduire que : 1²+2²+ ... +n²= [n(n+1)(2n+1)]/6
4) En déduire la somme des carrés des :
a) 10 premiers entiers supérieurs ou égaux à 1
b) 100 premiers entiers supérieurs ou égaux à 1.
Merci d'avance pour votre aide ..
Où j'en suis dans mon devoir
je suis bloquée à la première question , ce qui m'empêche de faire la suite qui je pense est facile une fois qu'on a résolu la question 1 ...5 commentaires pour ce devoir
Bonjour,
Un polynôme du 3e degré s'écrit :
P(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d
D'une part, P(1) = 0 donc a + b + c + d = 0
D'autre part, P(x+1) = a(x+1)^3 + b(x+1)^2 + c(x+1) + d >>> à développer
Ensuite, tu calcules P(x+1)-P(x) et tu regroupes les termes en x^3, ceux en x^2, ceux en x et les nombres seuls.
Enfin, tu procèdes par identification avec x^2 sachant que P(x+1) - P(x) = x^2
>>> le coefficient devant le x^3 sera nul, le coefficient devant le x le sera également, au même titre que les nombres.
Tu aboutis à un système à résoudre.
A toi de jouer.
Niceteaching, prof de maths à Nice
Un polynôme du 3e degré s'écrit :
P(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d
D'une part, P(1) = 0 donc a + b + c + d = 0
D'autre part, P(x+1) = a(x+1)^3 + b(x+1)^2 + c(x+1) + d >>> à développer
Ensuite, tu calcules P(x+1)-P(x) et tu regroupes les termes en x^3, ceux en x^2, ceux en x et les nombres seuls.
Enfin, tu procèdes par identification avec x^2 sachant que P(x+1) - P(x) = x^2
>>> le coefficient devant le x^3 sera nul, le coefficient devant le x le sera également, au même titre que les nombres.
Tu aboutis à un système à résoudre.
A toi de jouer.
Niceteaching, prof de maths à Nice
merci à vous deux pour votre aide ... j'ai enfin pu finir mon DM =)
merci encore et bonne journée !
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Bonne soirée et n'oublie pas de clotûrer les devoirs que tu estimes terminés, pour alléger la liste des devoirs en cours.
Ils ont besoin d'aide !
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je vais te donner une petite aide pour la question 1:
1) on sait que P est un polynome de degré 3 donc de la forme :
P(x) = ax³+bx²+cx+d
donc P(x+1) = a(x+1)³+b(x+1)²+c(x+1)+d = a(x³+3x²+3x+1)+b(x²+2x+1)+c(x+1)+d = ax³+bx²+cx+d + 3ax²+3ax+a+2bx+b+c = P(x) + 3ax²+(3a+2b)x+(a+b+c)
donc P(x+1)-P(x) = 3ax²+(3a+2b)x+(a+b+c)
pn cherche P(1) = 0, donc a+b+c+d = 0
il faut résoudre le système tel que:
3a = 1
3a+2b = 0
a+b+c = 0
a+b+c+d = 0
a = 1/3
b = -1/2
c = 1/6
d = 0
Donc : P(x) = (1/3)x³-(1/2)x²+(1/6)x
voilà ;)