Inégalités et arithmétique

Sujet du devoir

Bonjour ! J'ai un devoir à la maison de mathématique et j'ai du mal à le faire même lorsque je suis avec des élèves de ma classe.

Le but de l'exercice est de trouver tous les nombres entiers naturels a, b et c (a≤b≤c) tels que : 1=1/a+1/b+1/c.
1° vérifiez que a≥2

2° Établir l'inégalité 1/a+1/b+1/c≤3/a, et en déduire les valeurs possibles pour a.

3° Montrer que 1/b+1/c≤2/b. En déduire, pour chaque valeur de a obtenue à la question 2°, les valeurs possibles pour b.

4° Conclure

2éme Exercice :

A= 1/√1 + 1/V2 + 1/√3 +,... + 1/√9999 + 1/√10000.

1° Établir l'inégalité suivante, pour tout entier n≥1 :
2(√n+1 - √n)<1/√n<2(√n - √n-1).

Aide : (Pour tout entier k, √k+1 - √k = 1/√k+1 + √k.)

2° En déduire que : 2(√10001 -1)

3° Déterminer le plus grand entier inférieur à A.

Merci d'avance pour votre aide ...

Où j'en suis dans mon devoir

Exercice 1 :

1) Si l'on définit l'ensemble sur des entiers naturels, alors a>0 car on ne peut pas diviser un nombre par 0.
Si l'on divise a par 1, alors l'égalité n'est plus valable, en effet, 1/1=1. Donc, a≥2,b≥2 et c≥2.

2) 3/a≥1
a≤3 donc a≤3
Ainsi, a[2;3]

3) 1/b+1/c ≤ 2/a
si a=2 alors 1/b+1/c ≤ 2/b
1/b+1/c ≤ 2/a
2/a ≤ 2/b
2/2 ≤ 2/b = b ≥ 2*2/2 = b ≥ 2
si a=3 alors 2/a ≤ 2/b
2/3 ≤ 2/b = b ≥ 6/2 = b≥3

Si a=2 et b=2 alors a+b=1 et c=0 or a≤b≤c
Si a=3 et b=3 alors a+b=2/3 et c=3 donc a≤b≤c

Je sais qu'il peut également y avoir 1/2+1/4+1/4 mais je ne sais pas comment le prouver ... Merci de votre aide

Exercice 2 :

je n'y arrive pas du tout