math 1ere ES probabilités

Sujet du devoir

La roulette est un jeu de hasard pour lequel chaque joueur peut miser au choix sur un numéro ou une famille de numéros.
Le tirage au sort s'effectue avec une bille jetée dans une roue qui tourne. La bille s'arrête dans une encoche face à un numéro.

Le tableau ci-dessous résume les gains obtenus en fonction du pari effectué.

Gain Type de pari

35 fois sa mise Un seul numéro
2 fois sa mise Tous les numéros de 1 à 12
2 fois sa mise Tous les numéros de 13 à 24
2 fois sa mise Tous les numéros de 25 à 36
1 fois sa mise Tous les numéros rouges
1 fois sa mise Tous les numéros noirs

1)On note X la variable aléatoire donnant le gain pour une mise de 1 euro dans le cas où le joueur parie sur le numéro 13.

a) Écrire la loi de probabilité de X.
b) Calculer l'espérance de X.
c) Dans le jargon du casino, l'espérance de X s'appelle l'avantage de la maison. Expliquer cette expression.

2) On note Y la variable aléatoire donnant le gain pour une mise de 1 € dans le cas où un joueur parie sur les numéros 25 à 36.
a) Écrire la loi de probabilité de Y.
b) Calculer l'espérance de Y.

3) On note Z la variable aléatoire donnant le gain pour une mise de 1 € dans le cas où un joueur parie sur les numéros rouges.
Dans ce cas, la règle concernant le numéro "0" est un peu différente. Si le "0" sort, la mise est emprisonnée jusqu'au coup suivant. Si celui-ci conduit à un numéro rouge, on ne gagne ni on ne perd. Si c'est un numéro noir ou à nouveau le "0", l'euro est perdu.
a) Écrire la loi de probabilité de Z.
b) Calculer l'espérance de Z.