- Partage ce devoir avec tes amis !
Sujet du devoir
PARTIE A :Soit le polynome P(x) défini sur R par P(x)=(2x^3-3x^2+x)/6
a) Demontrer que pour tout réel x, P(x+1)-P(x)=x^2
b) En déduie que pour tout entier naturel n non nul,
1^2+2^2+...+(n-1)^2+n^2= P(n-1)
c) En déduire que pour tout entier naturel n non nul,
1^2+2^2+...+(n-1)^2+n^2=[n(n+1)(2n+1)]/6
d) Application numérique :
Calculer S1=1^é+2^é+...+27^2
S2=0.1^2+0.2^2+...+1^2
PARTIE B :
La fonction f est définie sur [0;1] par f(x)=x^2
On note (Cf) la représentation graphique de la fonction f dans un repère orthogonal du plan.
Nous allons calculer une valeur approchée de l'aire du domaine (D), délimité par (Cf), l'axe des abscisses et la droite d'équation x=1.
1) Représenter (D) dans un repère orthonormé d'unité graphique 10cm.
2) n désigne un entier naturel non nul.
On subdivise le segment [0;1], sur l'axe des abscisses, en n segments de même amplitude 1/n
Sur chaque intervalle [(k/n);(k+1)/n] de la subdivision, on construit le rectangle de hauteur f((k+1)/n); on note An la somme des aires de ce rectangle.
On a : pour tout n E N*, aire(D) inferieur ou egal a An
a) Justifier que An= 1/n^3 + 2^2/n^3 +...+(n-1)^2/n^3 + n^2/n^3
b) En utilisant la PARTIE A, écrire An sous forme d'une fraction de polynomes.
c) En prenant n=10, déduire une valeur approchée de l'aire du domaine (D) dans un repère orthonormé quelconque puis interpreter cette valeur dans votre repère.
d) On admet que l'aire exacte d domaine (D) est 1/3. Ecrire un algorithme qui donne la plus petite valeur de n telle que An soit inférieure ou égale a 0,34
Où j'en suis dans mon devoir
Je n'ai absolument rien compris a cet exercice. Merci de bien vouloir me l'expliquer, sachant que je n'ai pas vu les dérivées.8 commentaires pour ce devoir
j'ai réussi la question a), b) et c).
Cependant, je ne trouve pas la solution de S2=0.1^2+0.2^2+...+1^2.
Et apres, je n'ai rien compris pour l
Cependant, je ne trouve pas la solution de S2=0.1^2+0.2^2+...+1^2.
Et apres, je n'ai rien compris pour l
Et apres, je n'ai rien compris pour la partie B
Partie A
d)
Par quoi faut il multiplie S2 pour que les termes soit des chiffres entiers au carré ?
0.1, 0.2, etc doivent être des entiers.
Partie B
1)
Il faut calculer des points et tracer la courbe.
2a)
Ecrivez l’aire du premier rectangle, puis l’aire du deuxième , etc…
La somme des aires de ces rectangles est An.
En faisant cette somme, vous répondrez à la question.
2b)
Il faut retrouver l’expression de la partie A ; en factorisant une partie de An cette expression apparaitra.
Puis vous remplacez l’expression de la partie A par [n(n+1)(2n+1)]/6.
2c)
Maintenant vous avez une expression de An en fonction de n. Calculez pour n=10
2d)
Au 2c), vous avez trouvé un résultat supérieur à 1/3. En augmentant le nombre n, le résultat va s’approcher de 1/3.
L’algorithme doit résoudre l’expression de An <=0.34.
Attention n est un entier.
d)
Par quoi faut il multiplie S2 pour que les termes soit des chiffres entiers au carré ?
0.1, 0.2, etc doivent être des entiers.
Partie B
1)
Il faut calculer des points et tracer la courbe.
2a)
Ecrivez l’aire du premier rectangle, puis l’aire du deuxième , etc…
La somme des aires de ces rectangles est An.
En faisant cette somme, vous répondrez à la question.
2b)
Il faut retrouver l’expression de la partie A ; en factorisant une partie de An cette expression apparaitra.
Puis vous remplacez l’expression de la partie A par [n(n+1)(2n+1)]/6.
2c)
Maintenant vous avez une expression de An en fonction de n. Calculez pour n=10
2d)
Au 2c), vous avez trouvé un résultat supérieur à 1/3. En augmentant le nombre n, le résultat va s’approcher de 1/3.
L’algorithme doit résoudre l’expression de An <=0.34.
Attention n est un entier.
Pour calculer l'aire d'un rectangle, il faut faire Lxl.
Ici L=f((k+1)/n) mais je ne trouve pas l'autre côté !
Ici L=f((k+1)/n) mais je ne trouve pas l'autre côté !
Dans l’énoncé, il est écrit « …en n segments de même amplitude 1/n. Sur chaque intervalle [(k/n);(k+1)/n] de la subdivision, on construit le rectangle…. ».
La largeur est de (k+1)/n - (k/n). La largeur est l’amplitude d’un segment : 1/n.
La largeur est de (k+1)/n - (k/n). La largeur est l’amplitude d’un segment : 1/n.
On obtient du coup :
Aire du 1er rectangle = lxL = 1/n x f((k+1)/n
Comment fait on pour la suite ?
Aire du 1er rectangle = lxL = 1/n x f((k+1)/n
Comment fait on pour la suite ?
Essayez de remplacer f() par son expression.
puis mettez l'expression de l'aire du rectangle sous la forme la plus simple.
k varie; entre quelle et quelle valeur k varie t elle?
puis faites la somme de tous les aires des rectangles.
puis mettez l'expression de l'aire du rectangle sous la forme la plus simple.
k varie; entre quelle et quelle valeur k varie t elle?
puis faites la somme de tous les aires des rectangles.
Ils ont besoin d'aide !
- Aucun devoir trouvé, poste ton devoir maintenant.
a)
Calculez P(x+1) puis enlevez P(x)
P(x+1) = (2(x+1)^3-3(x+1)^2+x+1)/6
Développez
P(x)=(2x^3-3x^2+x)/6
b)
N’y a-t-il pas une erreur dans l’énoncé ?
Normalement, l’énoncé devrait être 1^2+2^2+...+(n-1)^2+n^2= P(n+1)
Pour résoudre :
puisque P(x+1)-P(x)=x^2,
n² = P(n+1)-P(n),
(n-1)²= P(n)-P(n-1)
(n-2)²=P(n-1)-P(n-2)
Etc…
Ainsi jusqu’à 1² = P(2)-P(1)
On additionne l’ensemble ; des termes vont s’annuler.
c)
Il faut calculer P(n+1)= (2(n+1)^3-3(n+1)^2+n+1)/6
Développez, simplifiez et factorisez.
d)
Une simple application numérique avec les formules prouvées aux questions précédentes.
Tenir au courant