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Sujet du devoir
Bonjour, je bloque totalement sur cet exercice alors merci pour toute aide apportée !
On considère la fonction polynôme P définie sur R par P(x) = x^3 - 5x^2 + 3x +1.
On note alpha, bêta et gamma ses racines (on admet qu'elles existent !)
Rappel: si x0 est racine d'un polynôme, alors celui ci peut être factorisé par (x-x0).
1) écrire en fonction de alpha, bêta et gamma la forme factorisée de P(x).
2) Montrer que alpha+bêta+gamma =5 et alpha*bêta + alpha*gamma =3 et alpha*bêta*gamma =-1
3) sachant que bêta =1, déterminer les deux autres racines de P.
Où j'en suis dans mon devoir
Pour la question 1) j'ai: P(x) = (x-1)(x^2 -4x - 1) mais je me suis rendue compte que je n'avais pas écrit la forme factorisée avec alpha, bêta et gamma !!
6 commentaires pour ce devoir
1) "Si x0 est une racine d'un polynôme, on peut le factoriser par (x-x0)". Du coup, si x0 et x1 sont les racines, on peut écrire (x-x0)(x-x1), tu es d'accord?
Donc, en appliquant ce raisonnement à P, sachant que alpha, bêta et gamma sont les racines, quelle écriture obtiens-tu?
2) Développe cette écriture et compare-la à P, tu devrais pouvoir retrouver les égalités.
3) Grâce aux égalités démontrées, tu peux faire un système et déterminer les valeurs de alpha et gamma.
Voilà voilà!
Pour la 1) cela me donnerait (x-alpha) (x-bêta)(x-gamma)?
2) cela donnerait avec a=alpha b= beta y= gamma
(x-y) (x^2 -bx -ax +ab)
x^3 -bx^2 -ax^2 +xab -yx^2 +ybx +yax - yab?
Exact. Maintenant on regroupe les termes et on factorise, ce qui donne :
x^3-(y+b+a)x²+(by+ay+yb)x-aby
Et là tu peux comparer à P(x)=x^3-5x²+3x+1 et retrouver les égalités demandées.
Il reste que dans l'énoncé il est demandé "alpha*bêta+alpha*gamma", ce qui est un terme en moins par rapport à ce qu'on a trouvé.
Merci beaucoup pour votre aide ! J'ai pu finir l'exercice !
Ils ont besoin d'aide !
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1)utilise le rappel: si x0 est racine d'un polynôme, alors celui ci peut être factorisé par (x-x0)
sachant que les racines s'appellent ici alpha, bêta et gamma
2)développe la forme factorisée et identifie-la à P(x)
Donc si j'ai bien compris, on a (x-alpha)(x-bêta)(x-gamma) ? Merci pour avoir pris le temps de répondre !