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Sujet du devoir
Bonjour, bonsoir hier j'ai reçu un exercice qui sera sans doute noté pour lundi, mais j'ai beau chercher une solution dans mes cours je ne sais pas comment faire pour résoudre cet exercice, merci d'avance.
L'exercice :
Lorsque j'écris --> c'est pour représenter la flèche d'un vecteur.
Soit ABC un triangle non équilatéral. On désigne par O le centre du cercle circonscrit à ce triangle. On note A', B' et C' les milieux respectifs des côtés [BC], [AC], [AB].
1. Soit G le point tel que GA--> + GB--> + GC--> = 0-->
a. Montrer que GA--> + 2GA'--> = 0-->. En déduire que les points G, A et A' sont alignés.
b. Démontrer de même que G, B et B' sont alignés.
c. En déduire que G est le centre de gravité du triangle ABC.
2. Soit H le point tel que OA--> + OB--> + OC--> = OH-->.
a. Montrer que AH--> = 20A'-->. En déduire que la droite (AH) est perpendiculaire au côté [BC].
b. Montrer que H est l'orthocentre du triangle ABC.
3. Montrer que OH--> = 3OG-->. Que peut-on en déduire pour les points O, G et H ?
2 commentaires pour ce devoir
pour le 2.
OA + OB + 0C = OH
décompose OA en OH + HA
OB en OA' + A'B
OC en OA' + A'C
Ils ont besoin d'aide !
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Pour la question 1a.
Tu pars de ce qu'on te donne : GA+GB+GC=0 (tout est avec des vecteurs, mais je ne les mets pas pour que ce soit plus lisible)
Tu peux décomposer GB en GB=GA' + A'B
et GC= GA' + A'C
Tu remplaces GB et GC par ce que tu viens de trouver dans GA+GB+GC=0
=> GA + GA' + A'B + GA' + A'C = 0
on regroupe le GA' => GA + 2 GA' + A'B + A'C = 0
Tu sais dans l'énoncé que A4 est le milieu de BC, donc A'B=CA'= - A'C
=> donc dans : GA + 2 GA' + A'B + A'C = 0, on peut remplacer A'B par -A'C
=> GA + 2 GA' - A'C + A'C = 0
les A'C s'annulent, on se retrouve avec GA + 2 GA' = 0
C'est le même principe pour GB...