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Sujet du devoir
ABC est un trapèze rectangle avec : AB=4; AD=2; DC=5
1) Calculer les produits scalaires (méthodes du projeté orthogonal)
- DC•DB
- DC•DA
- BA•BC
2) Calculer le produit scalaire AC•DB ( relation de Charles)
Où j'en suis dans mon devoir
Merci beaucoup d’avance car je comprends pas du tout ce point du chapitre et du coup du dm
3 commentaires pour ce devoir
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Bonjour,
En quels sommets ton trapèze est-il rectangle ?
PS : Relation de Chasles, pas Charles ^.^
DAB RECTANGLE EN A
CDA RECTANGLE EN D
Alors, il faut que tu comprennes que le produit scalaire fait intervenir des vecteurs. Il a plusieurs utilités, en physique avec les forces, en math le calcul d'un angle. Il est surtout très utile en mathématiques pour démontrer que deux directions (deux droites) sont perpendiculaires.
La définition d'un produit scalaire n'est autre que :
AB.AC = ||AB|| x ||AC|| x cos(AB;AC)
avec
||AB|| = norme du vecteur AB = la longueur AB
||AC|| = norme du vecteur AC = la longueur AC
cos(AB;AC) = le cosinus de l'angle BAC
Pourquoi est-il utile en particulier pour démontrer que des droites sont perpendiculaires ?
Tout simplement parce qu'en revenant à la définition d'un produit scalaire, l'angle BAC vaut 90° (perpendicularité) et, comme cos(90°) = 0 alors deux droites sont perpendiculaires si et seulement si AB.AC = 0
Il faut également que tu gardes en tête que le résultat d'un produit scalaire est un nombre et non un vecteur !
Pour ce qui est du projeté orthogonal, cela permet de simplifier les calculs du cosinus :
Prends pour exemple un triangle ABC quelconque et trace la hauteur qui passe par le sommet C .
Le point d'intersection entre la hauteur et le côté AB sera le projeté orthogonal de C que tu pourras nommer H.
L'interet ?
C'est que le produit scalaire AB.AC = AB.AH
Et là, le tour est joué.
Les points A,B et H étant alignés, l'angle BAH vaut soit 0° (si les point B et H sont du même côté par rapport au point A) ou 180° sinon.
Donc si A,B et H du même côté (c'est à dire que les vecteurs AB et AH sont de même sens) :
AB.AC = AB.AH
= ||AB|| x ||AH|| x cos(0)
= ||AB|| x ||AH|| x 1
AB.AC = AB x AH
Sinon, si les vecteurs AB et AH sont de sens contraire :
AB.AC = AB.AH
= ||AB|| x ||AH|| x cos(180)
= ||AB|| x ||AH|| x (- 1)
AB.AC = - AB x AH
Je te conseille donc de redessiner ton trapeze et de placer de nouveaux points :
Exemple, pour DC.DB, place le projeté orthogonal de B sur (DC)
Tu n'auras plus qu'à remplacer les longueurs par les données du texte et finito !
Pfiou, je ne sais pas si j'ai été claire :/