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Sujet du devoir
Bonjour à tous, voilà l'énoncé de l'exercice :1) Résoudre dans IR l’équation 2X²-X-1=0
2) On considère l’équation [E] : cos(2x)=cos(x)
a) Démontrer que [E] est équivalente à 2cos²(x)-cos(x)-1=0
b) En utilisant les résultats de la question 1), résoudre l’équation [E] dans l’intervalle I=[0 ; 2pi[
3) a) Factoriser le polynôme P(X)= 2X²-X-1
b) En déduire une factorisation de cos(2x)-cos(x)
c) Etudier alors le signe de cos(2x)-cos(x) dans I.
Où j'en suis dans mon devoir
Pour le début pas de problème seule la dernière question me gène:1) X=1 ou X=-1/2
2)a) cos(2x)=cos(x)
2cos²(x)-1=cos(x)
2cos²(x)-1-cos(x)=0
b)x=0, x=2pi/3 ou x=4pi/3
3)a) P(X)=2(X-1)(X+1/2)
b) On pose X=cos(x)
P(cos(x))= 2(cos(x)-1)(cos(x)+1/2)
c) mais voilà la dernière question je bloque...
Merci pour votre aide :)
7 commentaires pour ce devoir
Normalement, P(x) est un polynôme de degré 2 donc tu fais le discriminant et après que tu trouves les solutions.
Ensuite tu peux dresser un tableau de signe.
Moi je le vois comme ça pour la question c.
Bon courage ! :)
Ensuite tu peux dresser un tableau de signe.
Moi je le vois comme ça pour la question c.
Bon courage ! :)
Alors voilà, j'ai :
2>0
Puis sur I=[0 ; 2pi[:
(-1 ≤ cos(x) ≤ 1)
(-2 ≤ cos(x)-1 ≤ 0)
D'où (cos(x)-1 ≤0) sur I.
Et (cos(x)+1/2 ≤ 0)
(cos(x) ≤ -1/2)
D'où x appartient à l'intervalle [2pi/3;4pi/3]
On en déduit que si x appartient à [2pi/3;4pi/3], alors P(cos(x))≥ 0 et si x appartient à [0;2pi/3]U[4pi/3;2pi], alors P(cos(x))≤ 0
Donc si x appartient à [2pi/3;4pi/3] alors cos(2x)-cos(x)≥ 0 et si x appartient à [0;2pi/3]U[4pi/3;2pi], alors cos(2x)-cos(x)≤ 0.
J'espère que c'est correcte et merci beaucoup pour votre réponse rapide :)
Passez une bonne soirée ^^
2>0
Puis sur I=[0 ; 2pi[:
(-1 ≤ cos(x) ≤ 1)
(-2 ≤ cos(x)-1 ≤ 0)
D'où (cos(x)-1 ≤0) sur I.
Et (cos(x)+1/2 ≤ 0)
(cos(x) ≤ -1/2)
D'où x appartient à l'intervalle [2pi/3;4pi/3]
On en déduit que si x appartient à [2pi/3;4pi/3], alors P(cos(x))≥ 0 et si x appartient à [0;2pi/3]U[4pi/3;2pi], alors P(cos(x))≤ 0
Donc si x appartient à [2pi/3;4pi/3] alors cos(2x)-cos(x)≥ 0 et si x appartient à [0;2pi/3]U[4pi/3;2pi], alors cos(2x)-cos(x)≤ 0.
J'espère que c'est correcte et merci beaucoup pour votre réponse rapide :)
Passez une bonne soirée ^^
Ok le message est mal passé, je recommence :
2>0
Puis sur I=[0 ; 2pi[:
(-1 =< cos(x) =< 1)
(-2 =< cos(x)-1 =< 0)
D'où (cos(x)-1 =<0) sur I.
Et (cos(x)+1/2 =< 0)
(cos(x) =< -1/2)
D'où x appartient à l'intervalle [2pi/3;4pi/3]
On en déduit que si x appartient à [2pi/3;4pi/3], alors P(cos(x))>= 0 et si x appartient à [0;2pi/3]U[4pi/3;2pi], alors P(cos(x))=< 0
Donc si x appartient à [2pi/3;4pi/3] alors cos(2x)-cos(x)>= 0 et si x appartient à [0;2pi/3]U[4pi/3;2pi], alors cos(2x)-cos(x)=< 0.
Désolée ^^'
2>0
Puis sur I=[0 ; 2pi[:
(-1 =< cos(x) =< 1)
(-2 =< cos(x)-1 =< 0)
D'où (cos(x)-1 =<0) sur I.
Et (cos(x)+1/2 =< 0)
(cos(x) =< -1/2)
D'où x appartient à l'intervalle [2pi/3;4pi/3]
On en déduit que si x appartient à [2pi/3;4pi/3], alors P(cos(x))>= 0 et si x appartient à [0;2pi/3]U[4pi/3;2pi], alors P(cos(x))=< 0
Donc si x appartient à [2pi/3;4pi/3] alors cos(2x)-cos(x)>= 0 et si x appartient à [0;2pi/3]U[4pi/3;2pi], alors cos(2x)-cos(x)=< 0.
Désolée ^^'
OUI, c'est ca !
Astuce : si tu as un doute, n'hésite pas à "essayer" avec une valeur de x (par exemple, si x=pi/2, tu dois trouver cos(2x)-cos(x) >0 ==> cos pi = -1, cos pi/2 = 0 ==> c'est negatif !)
Bonne soirée
Astuce : si tu as un doute, n'hésite pas à "essayer" avec une valeur de x (par exemple, si x=pi/2, tu dois trouver cos(2x)-cos(x) >0 ==> cos pi = -1, cos pi/2 = 0 ==> c'est negatif !)
Bonne soirée
Je me demandais juste si il n'était pas plus judicieux pour ma factorisation d'écrire plutôt : cos(2x)-cos(x)= 2x(x-(2pi/3))(x-(4pi/3))
au lieu de P(cos(x))= 2(cos(x)-1)(cos(x)+1/2)?
au lieu de P(cos(x))= 2(cos(x)-1)(cos(x)+1/2)?
Bonsoir,
P(cos(x))= 2(cos(x)-1)(cos(x)+1/2) ==> ca, c'est exact.
la variable est cos(x)
celle-ci par contre :
cos(2x)-cos(x)= 2x(x-(2pi/3))(x-(4pi/3))
est inexacte ==>
à gauche, on parle de cosinus, à droite de mesure d'angle.
la différence de 2 cosinus n'est pas égale à une mesure d'angle.
tu vois la différence ?
P(cos(x))= 2(cos(x)-1)(cos(x)+1/2) ==> ca, c'est exact.
la variable est cos(x)
celle-ci par contre :
cos(2x)-cos(x)= 2x(x-(2pi/3))(x-(4pi/3))
est inexacte ==>
à gauche, on parle de cosinus, à droite de mesure d'angle.
la différence de 2 cosinus n'est pas égale à une mesure d'angle.
tu vois la différence ?
Ils ont besoin d'aide !
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tout ce que tu as écrit est correct.
pour la 3c) tu as bien posé X=cos(x)
2X²-X-1=0 est négatif quand X est entre les racines.
C'est donc pareil pour cos(x) ==> P(cos(x)) est négatif quand
-1/2 < cos(x) < 1
regarde sur le cercle trigonométrique l'intervalle des valeurs de x qui correspondent à cette inégalité..
dis moi ce que tu trouves.