Somme des nombres à n-chiffres.Utilisation des suites

Sujet du devoir

Bonjour,
J'ai un problème en maths:
Pour tout n entier naturel, avec n>2, on veut déterminer l'écriture décimale de la somme de tous les n-chiffres
On appelle n-chiffre un entier naturel composé de n chiffres
Exemples:
123 et 334 sont deux 3-chiffres
la somme de tous les 3-chiffres est égale à 494550
la somme de tous les 6-chiffres est égale à 494 999 550 000

Où j'en suis dans mon devoir

Pour 3 chiffres on a:
Le premier nombre de 3 chiffres est: 100
Le dernier est: 999
Il y a donc: 999+1-100=900 nombres de 3 chiffres.
Leur somme est donc par la propriété de la somme des termes d'une suite arithmétique de raison r=1:
((999+100)/2)*900 = 494500
(Le premier résultat est démontré pour les 3-chiffres, il en est de même pour les 6-chiffres, les 8-chiffres, etc etc).
Pour les n-chiffres:
Le premier nombre à n chiffres est: 10^(n-1)
Le dernier est: 10^(n)-1
Il y a de 10^(n-1) à 10^(n): 10^(n)-1-10^(n+1)+1 = 10^(n)-10^(n-1)
Leur somme est donc de:
((10^(n)+10^(n-1))/2)*9*10^(n-1)

La conjecture est donc que l'on retrouve un nombre alpha 494 9...9 550...0
Avec justement un nombre n-3 de 9 et un nombre n-2 de zéros dans ce nombre alpha.
Je ne vois pas comment passer de ma suite au nombre alpha.
Aidez moi je vous en supplie!
Une formule du cours dit que:
u0+u1+u2+...un= (n+1)*u0+(n(n+1)/2)*r où r désigne la raison.
Sauf que dans ce cas, la suite commence pour tout n>2, donc à u3.
Je bloque car je ne trouve pas comment faire pour passer de là à la suite énoncée plus haut.

J'ai vraiment besoin d'aide.
Merci beaucoup :)