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Sujet du devoir
Bonjour,
Je n'arrive pas l'exercice 5 du devoir 4 du cned...
Le triangle ABC est rectangle en A tel que AB=8cm et AC = 4cm. Soit M un point du segment [AB] et AM=x
Le point N appartient a [BC] et P un point de [AC] tel que AMNP soit un rectangle.
Soit f la fonction qui à chaque x associe l'aire du rectangle AMNP
1/ Quel est l'ensemble de définition de f?
2/ Montrer que f(x) = 1/2x(8-x)
3/a/Vérifier que f(x) = - 1/2(x-4)²+8
b/ En déduire que l'aire du rectangle AMNP est maximale pour une position particulière du point M que l'on précisera.
4/ a/ Indiquer la démarche permettant d'obtenir à la calculatrice les positions du point M (cad les valeurs de x) pour lesquelles l'aire de AMNP est égale a 4cm². Donner les valeurs indiquées par la calculatrice.
b/ Déterminer algébriquement les valeurs exactes de x pour lesquels l'aire de AMNP est égale à 4cm² (on justiiera que l'équation f(x) = 4 équivaut à (x-4-racine de 8)(x-4+racine de 8)=0
Où j'en suis dans mon devoir
J'ai tenté de faire les exercices 1, 2,3,4 sans aide mais là le 5 je sèche completement.///
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1) Ensemble de définition de f : le point M peut se déplacer de A à B
donc varie AM entre 0 et 8 comme AM=x ; x appartient à l'intervalle [0;8]
2) l'aire de AMNP=AM*MN
AM =x
pour déterminer MN utilise le th. de Thalès avec les triangles BMN et BAC:
MN/AC=BM/BA continue.
et tu verras que f(x)=AM*MN=(1/2)*x*(8-x)
3-a) f(x)=-1/2(x-4)²+8
partons de f(x)= (1/2)*x*(x-8)= (1/2)(8x-x²)=.-(1/2) (x²-8x)
je note que x²-8x est le début de l'identité remarquable (x-4)² qui x²-8x+16 j'ai 16 en trop je les soustrais
f(x)=-(1/2)[x-4)²-16]
f(x)=(-1/2)(x-4)²+8
b) (x-4)² est >0 donc (-1/2)(x-4)² est <0
l'aire sera donc max est égale à 8 quand (-1/2)(x-4)²=0 soit pour x=.....
4-b)Aire AMNP=4 revient à résoudre l'équation f(x)=4
partons de l'écriture f(x)=(-1/2)(x-4)²+8=4
(-1/2)(x-4)²=-4
(x-4)²=-4/(-1/2)=+8
ou (x-4)²-8=0 j'ai l'identité remarquable a²-b² il te reste à la factorisée en (a+b)(a-b) et tu vas retrouver la réponse donnée dans la question 4b