Démonstration avec des vecteurs

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Publié le 8 déc. 2018 il y a 5A par Anonyme - Fin › 11 déc. 2018 dans 5A

Sujet du devoir

Soit ABC un triangle. Soient M, N, et P les points definis respectivement par AM=(1/4) AC, BN=(2/3)BA et 3BP=2CP

Partie A

1) Placer les points Met N sur la figure

2) Exprimer BP en fonction de CB, puis placer le point P

3) Exprimer MN, puis MP en fonction des vecteurs AB et AC

4) En deduire que les points M, N, et P sont alignés

Partie B

Soit O le point défini par NO=1/4NP

Démontrer que les droites BO et AC sont parallèles

Je suis à la deuxième question. J'ai réussi à placer les points M et N

Concernant la question 3 de la partie A le résultat me parait bizarre

j'ai ecrit

BP=BC+CP

BC=BP-CP

BC=2/3CP - CP

BC=-1/3CP

-CB=-1/3CP

CB=1/3CP donc CP=3CB

Serge#1839

Posté le 10 déc. 2018

2) Compliqué, ton calcul qui ne mène pas - en outre - au résultat demandé.

3BP = 2CP ssi 3BP = 2(CB+BP) ssi BP = 2CB

3) MN = MA + AN = -1/4AC + AB + BN = -1/4AC + AB + 2/3BA = 1/3AB -1/4AC

MP = MA + AP = -1/4AC +AB + BP = -1/4AC + AB + 2CB = -1/4AC + AB +2(CA + AB) = 3AB -9/4AC

4) MP=9MN, les 2 vecteurs sont colinéaires ssi M,N et P sont alignés

5) MO = MN + NO = 1/9MP + 1/4NP = 1/9MP + 1/4(NM + MP) = 1/9MP -1/36MP + 1/4MP = 1/3MP

Or CB = 1/3CP, donc les triangles OPB et MPC sont semblables et par Thalès réciproque OB // AC