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Sujet du devoir
Exercice 2 (5 points)1)Soit f définie sur [1;+∞[
par : f (x ) = racine de (x −1)− racine de x .
a) Montrer que pour tout x de [1;+∞[
, f (x ) < 0 (on pourra utiliser le fait que la fonction racine carrée
est strictement croissante sur [0;+∞[).
b) Montrer que pour tout x de [1;+∞[, f(x)=-1/((racine de x-1)+racine de x)
c) En déduire que pour tout x de [1;+∞[ , f (x ) ≥ −1.
d) En déduire que pour tout x de [1;+∞[, racine de (x) −1 ≤ racine de (x −1).
2° Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d’initiative, même non
fructueuse, sera prise en compte dans l’évaluation.
Montrer que pour tout réel x ≥ 0, valeur absolue de ((racine de (x )−1) ≤ racine de (valeur absolue de (x-1))
Où j'en suis dans mon devoir
J'ai déjà fait le a,bJe bloque pour le c car je n'arrive pas à faire une inéquation. est-ce une erreur de calcul qui m’empêche d'avancer?
J'ai tout de même réussi à faire le d (il suffit de calculer l'inégalité et l'on retrouve f (x ) ≥ −1
En revanche je bloque pour le 2.
pourriez vous m'aider à faire le c ainsi que le 2?
Merci d'avance
21 commentaires pour ce devoir
2° Montrer que pour tout réel x >= 0,
I Vx - 1 I <= V I x-1 I
si nécessaire fais auparavant une petite révision sur la fonction valeur absolue.
cherche à te débarrasser des v.a. en étudiant sur 2 intervalles distincts : [0;1] et [1;+oo[
que devient l'inéquation dans chaque cas ?
I Vx - 1 I <= V I x-1 I
si nécessaire fais auparavant une petite révision sur la fonction valeur absolue.
cherche à te débarrasser des v.a. en étudiant sur 2 intervalles distincts : [0;1] et [1;+oo[
que devient l'inéquation dans chaque cas ?
Bonjour,
Merci de vouloir m'aider mais votre réponse est fausse. f(x)<0 (voir a) donc votre raisonnement ne peut être juste.
Merci de vouloir m'aider mais votre réponse est fausse. f(x)<0 (voir a) donc votre raisonnement ne peut être juste.
bonjour
en effet, personne n'est à l'abri d'une erreur ! et en effet, j'ai oublié le signe - à la fin en recopiant l'énoncé : lire f(x) >= - 1
mais je maintiens mon raisonnement ^^
as-tu essayé de faire ce que j'ai proposé ?
en effet, personne n'est à l'abri d'une erreur ! et en effet, j'ai oublié le signe - à la fin en recopiant l'énoncé : lire f(x) >= - 1
mais je maintiens mon raisonnement ^^
as-tu essayé de faire ce que j'ai proposé ?
oui je vois ù vous voulez en venir je n'y aurais pas pensé car je ne me concentrait qu'en partant de la fonction trouvé en b
voici mon calcul
racine de(x-1) + racine de x >= 0+1
racine de (x-1) + racine de x >= 1
1/(racine de (x-1)+racine de x) <=1
- 1/(racine de(x-1)+racine de x) <= -1
f(x) <= -1
est-ce juste ?
voici mon calcul
racine de(x-1) + racine de x >= 0+1
racine de (x-1) + racine de x >= 1
1/(racine de (x-1)+racine de x) <=1
- 1/(racine de(x-1)+racine de x) <= -1
f(x) <= -1
est-ce juste ?
racine de(x-1) + racine de x >= 0+1
racine de (x-1) + racine de x >= 1
1/(racine de (x-1)+racine de x) <=1
........ - 1/(racine de(x-1)+racine de x) <= -1
attention, quand tu prends l'opposé, comme quand tu prends l'inverse, tu dois changer le sens de l'inégalité
donc
- 1/(racine de(x-1)+racine de x) >= -1
f(x) >= -1
racine de (x-1) + racine de x >= 1
1/(racine de (x-1)+racine de x) <=1
........ - 1/(racine de(x-1)+racine de x) <= -1
attention, quand tu prends l'opposé, comme quand tu prends l'inverse, tu dois changer le sens de l'inégalité
donc
- 1/(racine de(x-1)+racine de x) >= -1
f(x) >= -1
voici ma réponse pour le 2
si 1<=x alors on a racine de x-1<= racine de (x-1)
si 0<=x<=1 on a 1-Vx<= V(1-x)
V(x-1)-Vx<= -1
-1/(V(x-1)-Vx)<= -1
est-ce juste, manque-t-il une étape pouvez vous me dire laquelle?
si 1<=x alors on a racine de x-1<= racine de (x-1)
si 0<=x<=1 on a 1-Vx<= V(1-x)
V(x-1)-Vx<= -1
-1/(V(x-1)-Vx)<= -1
est-ce juste, manque-t-il une étape pouvez vous me dire laquelle?
2
si x€ [1;+oo[, l'inéquation est équivalente à :
Vx - 1<= V(x-1) --- oui
montre à présent que cette inégalité est tjrs vraie sur l'intervalle
(utilise les questions précédentes)
si x€ [0;1], l'inéquation est équivalente à :
1-Vx <= V(1-x) --- oui
ensuite non, car l'étude des questions précédentes portait sur l'intervalle [1;+oo[, tu ne pourras donc pas exploiter les inégalités obtenues.
1-Vx <= V(1-x) <=>
(1-Vx)² <= [V(1-x)]² <=> on élève au carré
montre que ceci est tjrs vrai sur l'intervalle [0;1]
si x€ [1;+oo[, l'inéquation est équivalente à :
Vx - 1<= V(x-1) --- oui
montre à présent que cette inégalité est tjrs vraie sur l'intervalle
(utilise les questions précédentes)
si x€ [0;1], l'inéquation est équivalente à :
1-Vx <= V(1-x) --- oui
ensuite non, car l'étude des questions précédentes portait sur l'intervalle [1;+oo[, tu ne pourras donc pas exploiter les inégalités obtenues.
1-Vx <= V(1-x) <=>
(1-Vx)² <= [V(1-x)]² <=> on élève au carré
montre que ceci est tjrs vrai sur l'intervalle [0;1]
En développant je trouve
1-2Vx+x<=1-x
2Vx<=0...Je suis coincée
1-2Vx+x<=1-x
2Vx<=0...Je suis coincée
erreur de signe
1-2Vx+x<=1-x
-2Vx + 2x <=0
-2Vx (1 - Vx) <=0
ensuite, on raisonne :
puisque 0 <= x <= 1
0 <= Vx <= 1
donc
(1 - Vx) est ...? (signe)
et
-2Vx est ...? (signe)
donc le produit est tjrs ...?
1-2Vx+x<=1-x
-2Vx + 2x <=0
-2Vx (1 - Vx) <=0
ensuite, on raisonne :
puisque 0 <= x <= 1
0 <= Vx <= 1
donc
(1 - Vx) est ...? (signe)
et
-2Vx est ...? (signe)
donc le produit est tjrs ...?
Je ne comprend pas 1-2Vx+x<=1-x
-2Vx + 2x <=0
ce passage...
-2Vx (1 - Vx) <=0
de plus j'ai du mal à comprendre pourquoi on peut élever les deux membres de l’équation au carré sachant qu'ils ne sont pas identiques...
-2Vx + 2x <=0
ce passage...
-2Vx (1 - Vx) <=0
de plus j'ai du mal à comprendre pourquoi on peut élever les deux membres de l’équation au carré sachant qu'ils ne sont pas identiques...
Si je continue je répondrais ainsi
puisque 0 <= x <= 1
0 <= Vx <= 1
donc
(1 - Vx) est positif
-2Vx est négatif
donc le produit est tjrs négatif???
puisque 0 <= x <= 1
0 <= Vx <= 1
donc
(1 - Vx) est positif
-2Vx est négatif
donc le produit est tjrs négatif???
j'ai factorisé , sachant que 2x = 2 * Vx * Vx --- puisque x>0
pourquoi on peut élever les deux membres de l’équation au carré sachant qu'ils ne sont pas identiques
parce que si a <= b ---- a ET b positifs, ce qui est le cas ici
alors a² <= b² --- l'ordre est conservé
http://monsieurchapon.voila.net/lecons/ordre2.pdf
pourquoi on peut élever les deux membres de l’équation au carré sachant qu'ils ne sont pas identiques
parce que si a <= b ---- a ET b positifs, ce qui est le cas ici
alors a² <= b² --- l'ordre est conservé
http://monsieurchapon.voila.net/lecons/ordre2.pdf
donc
(1 - Vx) est positif
-2Vx est négatif
donc le produit est tjrs négatif --- exact
conclusion :
sur l'intervalle [0;1], l'inégalité 1-Vx <= V(1-x) est tjrs vraie.
(1 - Vx) est positif
-2Vx est négatif
donc le produit est tjrs négatif --- exact
conclusion :
sur l'intervalle [0;1], l'inégalité 1-Vx <= V(1-x) est tjrs vraie.
vous me dites
-2Vx (1 - Vx) <=0
dans ce cas vous avez oublié un +non?
ce qui donne -2Vx +(1 - Vx) <=0 ???
-2Vx (1 - Vx) <=0
dans ce cas vous avez oublié un +non?
ce qui donne -2Vx +(1 - Vx) <=0 ???
développe -2Vx (1 - Vx)
que retrouves-tu ?
que retrouves-tu ?
tu as pu terminer ?
je retrouve bien -2Vx + 2x <=0
mais ne peut on pas directement se servir de -2Vx + 2x <=0?
il faut forcement avoir une multiplication?
mais ne peut on pas directement se servir de -2Vx + 2x <=0?
il faut forcement avoir une multiplication?
oui, on doit passer par la factorisation pour pouvoir conclure sur le signe.
Merci grâce à vous j'ai finis mon exercice.
on pouvait modifier un peu l’inéquation avant de factoriser, mais ça ne change pas le raisonnement:
-2Vx + 2x <=0 <=>
-Vx + x <=0 <=>
Vx - x >=0 <=>
Vx (1 - Vx) >=0
Vx --- positif
(1 - Vx) --- positif
donc produit positif
donc Vx (1 - Vx) >= 0 qq soit x de l'intervalle
--- on retrouve pareil ... heureusement ^^
tu as d'autres questions ?
-2Vx + 2x <=0 <=>
-Vx + x <=0 <=>
Vx - x >=0 <=>
Vx (1 - Vx) >=0
Vx --- positif
(1 - Vx) --- positif
donc produit positif
donc Vx (1 - Vx) >= 0 qq soit x de l'intervalle
--- on retrouve pareil ... heureusement ^^
tu as d'autres questions ?
Ils ont besoin d'aide !
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b) f(x)=-1/((racine de x-1)+racine de x)
c) En déduire que f (x ) >= −1
x >=1 <=> x-1 >= 0 <=> V(x-1) >= 0
x >=1 <=> Vx >= 1
d'où
V(x-1) + Vx >= 0+1 <=>
1/((Vx-1)+racine de x) <= ....
- 1/((Vx-1)+racine de x) ....
f(x) >= 1