Devoir maison : arithmetique et racine carré

Sujet du devoir

On souhaite demontrer que le nombre réel racine de 2 n'est pas un nombre rationnel 

Pour cela on va raisonner par labsurde cest a dire que lon va supposer que racine de 2 est un nombre rationnel ( racine de 2 sous la forme dune fraction irréductible dentiers) 

Où j'en suis dans mon devoir

Bonjour je souhaiterais que vous m'aidiez pour mon devoir maison merci d'avance 

1) Soit p un entier naturel tel que p au carré soit pair. Montrer qu'alors forcément p est pair (il ne peut pas etre impair)

Aide : raisonner par l'absurde en supposant que p est impair et que cela entre en contradiction avec le fait que p au carré soit pair 

2 ) Supposons que racine de 2 appartient au nombre Q on pose alors : racine de 2 = p/q des entiers relatifs n'ayant aucun  diviseur en commun. Montrer que l'on a : p au carré = 2q au carré 

3) Quen deduire pour p au carre? Quen deduire de p ?

4) on pose maintenant p=2k pourquoi a t'on le droit decrire cela ?

5) justifier que q au carré = 2k au carré.  En deduire la parité de q

6) vous venez de demlntrer que les entiers p rt q sont des entiers pairs. En deduire un diviseur commun a ces deux entiers p et q?

7) soulever la contradiction manifeste ,finalement que penser de notre hypothèse initiale " racine de 2 est un nombre rationnel" que venez vous de demontrer ?