Devoir maison sur les fonctions de références !

enfin plutot x =-3 et y=-5

ah non, il ne faut pas que tu choisisses tes deux nombres, il faut qu'ils restent "arbitraires" (ça veut dire qu'ils font partie de ton intervalle, mais qu'ils peuvent être n'importe qui dans cet intervalle).

Bon les deux nombres, appelle les plutôt a et b, car ce sont tous les deux des abscisses et si le 2eme s'appelle y ça va t'embrouiller.

je laisse donc x et y ?

veux-tu que je te donne un exemple ?

oui je veux bien merci =) ensuite j'essayerai de le refaire avec mon intervalle et tu me dira si c'est bon ^^

ok alors attends 5 min que je te fasse ça correctement

Bonjour,

Stonedbike t'a mis sur la voie... Je vais poursuivre dans son sens et utiliser quelques savoirs que tu dois maîtriser désormais de toute urgence...

Soit l'intervalle : ]-infini ; -1[

Tu prends deux nombres a et b de cet intervalle, tels que a < b

Et on va progresser petit à petit, par composition pour aboutir à f(a) et f(b) (f(a) = 2/(a+1) - 3)

a < b
a - 1 < b - 1 car la fonction X-> X - 1 est une fonction affine croissante sur R
2/(a-1) > 2/(b-1) car la fonction X-> 2/X est une fonction inverse décroissante sur R*
2/(a-1) - 3 > 2/(b-1) - 3 car la fonction X-> X - 3 est une fonction affine croissante sur R
DONC f(a) > f(b)

Compris ?



Niceteaching, prof de maths à Nice

pas de problème =)

je vais montrer que la fonction g : x |-> (x+4)² est croissante sur [-4; -infini[ :

soient a et b appartenant à [-4; -infini[, tels que a > b

a > b
donc a+4 > b+4

(ensuite, je vais élever les deux membres au carré ;
mais la fonction carré est décroissante sur ]-infini ; 0[ et croissante sur [0;+infini[, ce qui veut dire que :
si je prends deux nombres c et d sur ]-infini ; 0[ tels que c > d, alors c² < d² (fonction décroissante donc on change l'ordre)
si je prends deux nombres c et d sur [0;+infini[ tels que c > d, alors c² > d² (fonction croissante donc on ne change pas l'ordre)
ici, tu as a+4 et b+4 comme nombres : à quel intervalle apppartiennent-il ?)

a et b appartiennent à [-4; -infini[, donc a+4 et b+4 appartiennent à [0; -infini[
Or x |-> x² est croissante sur [0; -infini[, donc :
(a+4)² > (b+4)² (je n'ai pas changé l'odre)
donc g(a) > g(b)

donc g est croissante sur [-4; -infini[.

effectivement niceteaching, mais j'essayais de lui faire trouver la réponse toute seule !...

je crois que pour la deuxième ligne c'est plutôt a + 1 < b + 1 non ? sinon je n'ai pas très bien compris les justification =S

et as-tu compris l'exemple que je t'ai donné miss Zecchini ?

Donc si j'ai bien compris :

x < y
x + 1 < y + 1 car on ajoute un même nombre au deux membres de l'inégalité donc on conserve l'ordre

2/(x+1) > 2/(y+1) car c'est une fonction inverse donc décroissante donc on change l'ordre

2/(x+1) - 3 > 2/(y+1) - 3 car on ajoute un même nombre au deux membres de l'inégalité donc on conserve l'ordre

DONC f(x) > f(y) ??

c'est ça ?

exactement ! seul un passage n'est pas assez détaillé :

"2/(x+1) > 2/(y+1) car c'est une fonction inverse donc décroissante donc on change l'ordre"

pour ce faire, relis ça :

"a+4 > b+4
a et b appartiennent à [-4; -infini[, donc a+4 et b+4 appartiennent à [0; -infini[
Or x |-> x² est croissante sur [0; -infini[, donc :
(a+4)² > (b+4)² (je n'ai pas changé l'ordre)"

euh c'est "[0; +infini[", évidemment !

fais bien attention à ça, qui n'est pas qu'un détail :
tu ne peux pas dire "c'est une fonction inverse donc décroissante" : la fonction inverse n'est pas "décroissante" tout court - elle est décroissante sur ]-infini ; 0[, et décroissante sur ]0; +infini[.

Donc quand tu passes de g > h à 1/g > 1/h, il faut bien que tu précises à quel intervalle appartiennent g et h.

"de g > h à 1/g < 1/h" pardon

alors (x+1)<(y+1)

x et y appartient à ]-infini; -1[ donc (x+1)et(y+1) ]-infini; -1 [

or x -> 1/x est décroissante sur ]-infini, -1[ donc :

2/(x+1) > 2/(y+1) ( on change l'ordre )

si x et y appartient à ]-infini; -1[, alors x+1 et y+1 n'appartiennent pas forcément à ]-infini; -1 [, mais à... ?

pour t'aider : "x appartient à ]-infini; -1[" s'écrit aussi "x<-1" (donc x+1<... ?)

euh... à ]-infini, -2[ ?

non, relis ma dernière aide !

ah non ]-infini, 0[

exact ! tu peux faire du copié collé pour me redonner toute la réponse si tu veux, ou passer à la suite.

très bien donc ça donne :
x < y
x + 1 < y + 1 car on ajoute un même nombre au deux membres de l'inégalité donc on conserve l'ordre


(x+1)<(y+1)
x et y appartient à ]-infini; -1[ donc (x+1)et(y+1) ]-infini;0[

or x -> 1/x est décroissante sur ]-infini, -1[ donc :

2/(x+1) > 2/(y+1) ( on change l'ordre )


2/(x+1) - 3 > 2/(y+1) - 3 car on ajoute un même nombre au deux membres de l'inégalité donc on conserve l'ordre

donc f(x) > f(y) ??

"or x -> 1/x est décroissante sur ]-infini, 0[" (et pas -1)

(x+1 et y+1 appartiennent à ]-infini, 0[, pas à ]-infini, -1[))

le reste est impeccable.

Alors après effectivement, comme l'a écrit niceteaching tu peux justifier les passages type "car on ajoute un même nombre au deux membres de l'inégalité donc on conserve l'ordre" autrement :

en parlant par exemple de la fonction h:x |-> x + 1 croissante sur |R, donc a > b entraine h(a) > h(b), c'est-à-dire a + 1 > b + 1.

Mais ce n'est pas obligatoire puisque "on ajoute un même nombre au deux membres de l'inégalité donc on conserve l'ordre" est une propriété évidente (c'est moins le cas quand tu prends l'inverse)

Et après tu fais un truc du même type pour l'autre intervalle demandé.

As-tu un problème pour une autre question ?
Essaie de faire le reste, et je repasserai plus tard si tu veux.

pour l'intervalle ]-1; +infini[ ça donne :

x x+1
(x+1)<(y+1)
x et y appartient à ]-1; +infini[ donc (x+1) et y+1) appartient à
]0; +infini[
or x-> 1/x est décroissante sur ]-1; +infini[ donc :
2/(x+1) > 2/(y+1)

2/(x+1) - 3 > 2/(y+1) - 3 car on ajoute un même nombre au deux membres de l'inégalité donc on conserve l'ordre

donc f(x) > f(y)

très bien, sauf qu'il y a juste une fois encore cette erreur :

"or x-> 1/x est décroissante sur ]0; +infini[" et pas "]-1; +infini["

a oui exact merci ! j'essaie de faire la suite

je t'en prie. bin je repasserai plus tard alors !

re bonjour ! =) voila j'ai un peu avancé et j'ai fais les questions 2) et 3) je suis maintenant bloquée aux questions 4) et 5) =/

Il faut que tu trouves les coordonnées (x;y) d'un point d'intersection, c'est-à-dire un point qui appartient à deux courbes.

Or un point appartient à une courbe ssi ses coordonnées vérifient l'équation de la courbe.

Donc ça te donne un système de deux équations à deux inconnues ; écris le !

daccord le problème c'est que je n'ai pas encore fais les système =/

oui mais ici le système est vraiment très simple, puisque l'équation de la 2nde courbe est y = -1.

Tu as donc juste à substituer y par -1 dans l'équation de la 1ere courbe pour trouver la valeur de x.

(substituer = remplacer)

Je dois partir, je reviendrai peut-être plus tard.

ah oui, et l'équation d'une courbe est donnée par y = f(x) (remplace f(x) par ce qu'elle vaut)

daccord donc il faudrait que je fasse :

y=-1
y=2/(x+1) -3

donc 2/(x+1) -3 =-1
2/(x+1)=2
2x(-x-1)=2
-2x-2=2
-2x=4
x=4/-2
x=-2

sa serait ça ? je pense mettre trompé mais bon =/

Oui, effectivement : +1 et non -1 ; mais la fonction reste croissante sur R :-)

oui ^^ merci =) j'en suis maintenant à la question 4, pourrait tu m'aider ?

"2/(x+1)=2
2x(-x-1)=2"

ça c'est faux ; tu peux commencer par écrire ça sous la forme 2/(x+1) = 2/1, puis écris juste que les deux produits en croix sont égaux : 2*1 = 2*(x+1) (ya aucun moins qui arrive)

après tu finis, et tu as l'abscisse de ton point d'intersection (et son ordonnée, que tu connais depuis le début).

bon je t'aide déjà pour la question 5 :

un point est "au dessus" d'un autre si son ordonnée est plus grande que celle de l'autre.

Tu dois donc arriver à voir, quand tu prends deux points de même abscisse x, l'un appartenant à (d) et l'autre à (H), lequel a la plus grande ordonnée.

Mais le point qui appartient à (H), quelle est son ordonnée ? (regarde l'équation de (H))

Et pour le point qui appartient à (d), son ordonnée (y) est donnée par y=f(x).

Tu résous donc l'inéquation "ordonnée du point de (H) supérieure à ordonnée du point de (d)", pour trouver toutes les abscisses des points pour lesquels (H) est au dessus de (d).

6a et b : tu devrais y arriver sans problème.

6c : tu fais un truc du même genre que dans la 5 : tu cherches à connaitre l'abscisse (x) d'un point qui appartient à (delta) (c'est-à-dire y=h(x)) et aussi à (d) (c'est-à-dire y=f(x)).
Ca te donne une relation très simple entre h(x) et f(x), qui te permet de trouver la bonne valeur de x.

Puis tu en déduis la valeur de y correspondante.

merci beaucoup pour ton aide. Pour la 4) j'ai donc fais :

y=-1
y=2/(x+1)-3

donc 2/(x+1)-3=-1
2/(x+1)=2/1
2*(x+1)=2*1
2x+2=2
2x=4
x=2

donc (2;-1)

ensuite pour la 5) je patauge un peu =/

je prend le point d'abscisse 2 qui a sur (d) le point d'ordonnée -1.
Sur (H) je remplace x par 2 ? ce qui me donnerais :
h(x)=2/(x+1)-3
h(x)=2/(2+1)-3
h(x)=2/3-3
h(x)=2/0
h(x)= impossible =/

Je crois donc que je me suis trompée pourtant je ne vois pas comment faire autrement =/

"2x+2=2
2x=4"

non : 2x = 0

5) "je prend le point d'abscisse 2" : non, tu ne dois pas choisir l'abscisse de ton point, elle doit rester arbitraire (c'est x, c'est tout).

bon je te file un autre exemple :
(d1) a pour équation y = -x + 3
(d2) a pour équation y = x + 5
position de (d1) par rapport à (d2) ?

Pour que (d1) soit au-dessus de (d2), il faut que l'ordonnée du point d'abscisse x de (d1) soit supérieur à l'ordonnée du point de même abscisse x de (d2), c'est-à-dire -x + 3 > x + 5
c'est vrai ssi 3 > 2x + 5
ssi -2 > 2x
ssi -1 > x
Donc (d1) est au dessus de (d2) pour tous les points dont l'abscisse est inférieure à -1.

je dois y aller, à plus tard peut-être !

bonjour
ta fonction s'écrit plutôt comme ça:
2
------- -3
(x+1)
1- domaine de définition
2-limites aux bornes
3-dérivabilité
4-tableau de variation
5-sens de variation

désolé mais je ne comprends pas, ma prof de math dit qu'il faut que je trouve le signe

elle m'a mis : f(x)-g(x)>0
et que j'arriverais à f(x)>g(x)

Elle m'a également parlé de faire un tableau de signe mais je ne comprends pas pourquoi. =S

Pourrais tu m'aider ?