Devoir maison sur les nombres premiers

Sujet du devoir

En premier plan, un tableau où apparaissent tout les nombres premiers compris entre 2 et 997 

1) en observant ce tableau, quelle remarque peut on formuler entre deux nombres premiers consécutifs ?

2) on considère le nombre :

M=1001x1000x999x998x...x5x4x3x2

A)démontrer que M+2 est divisible par 2

B)demontrer que M+3 est divisible par 3

C)démontrer que pour tout k entier compris entre 2 et 1001, le nombre M+k est divisible par k

D) en déduire qu'il existe deux nombres premier séparés par 1000 nombres entiers consécutif non premiers 

3) en s'inspirant du raisonnement tenu à la question 2, démontrer que l'on peut toujours trouver deux nombres premiers consécutifs séparés par autant de nombres enitets consécutifs non premiers que l'on veut. 

Où j'en suis dans mon devoir

Compréhension du sujet pour ensuite y répondre