Dm de math

Sujet du devoir

On veut démontrer, en raisonnant par l'absurde , que √3 est un nombre irrationel

on suppose donc que √3 est un nombre rationel, c'est a dire qu'il s'écrit √3 = p/q'

avec p et q entier naturels premiers entre eux et q non nul

1. Montrer que p² =3q²
2. On veut à présent montrer que si 3 est un diviseur de p², alors il est aussi un diviseur de p. Pour cela, on raisonne par l'absurde

       a. On suppose que 3 n'est pas un diviseur de p. Montrer qu'alors le nombre p peut s'écrire, soit sous la forme 3k+1, soit sous la forme 3k+2, avec k entier

      b. Si p=3k+1,montrer qu'on aboutit à une absurdité

      c.Opérer de même si p=3k+2 

       d.Conclure

       3.a.En déduirequ'il existe un entier naturel a tel que q²=3a²

        b.En utilisant le résultat de la question 2.Montrer qu'alors 3 est un diviseur de q

       c.Conclure quant à l'irrrationalité de √3